Elagage jusqu'à la racine
Problème A534 de Diophante
Trouver tous les couples d'entiers naturels (n,k) avec k >1 tels que la racine k-ième de n est obtenue en supprimant les k derniers chiffres de n.
Solution
Notons m10p le nombre obtenu en supprimant les k derniers chiffres de n, avec 1 ≤ m < 10. Il s’agit d’obtenir l’égalité mk10k = n = m10p+k + r, où r est le nombre obtenu avec les k derniers chiffres de n.
Un entier de p+1 chiffres à la puissance k comprend q chiffres avec q > kp.
D’où l’inégalité p+k+1>kp ou encore (k-1)(p-1) < 2 .
Ainsi trois cas se présentent : k = p = 2 ou p = 1 ou k = 1 et le dernier cas ne donne manifestement aucune solution.
L’égalité mk-1 = 10 + r10-k/m montre qu’il faut chercher m proche de la racine (k-1)-ième de 10.
Avec un tableur ou une bonne calculette, on trouve, sans trop de peine (*) :
100
2 =100
0032
3 =32
76818
5 =18
89 56816
6 =16
777 216
14
8 =14
75 789 056
13
10 =13
7 858 491 84912
14 =12
83 918 464 548 864
11
26 =11
91 817 653 772 720 942 460 132 761(*) Le plus délicat est de trouver les valeurs exactes de 1310, 1214 et 1126.
