A534 Élagage jusqu'à la racine
Trouver tous les couples d'entiers naturels (n,k) avec k >1 tels que la racine k-ième de n est obtenue en supprimant les k derniers chiffres de n.
Solution de Patrick Gordon
Distinguons les premiers chiffres de n de ses k derniers en écrivant :
n = 10k a + b (avec b < 10k c'est-à-dire que b doit avoir k chiffres au plus).
Par hypothèse : ak = 10k a + b
Si r est une racine entière de l'équation ci-dessus, on sait qu'elle doit diviser b, donc que b = cr (c étant un coefficient entier).
L'équation se réécrit donc (mettant en évidence la racine r) : rk = (10k + c) r
et, par conséquent, (10k + c) doit être la puissance (k–1)ème d'un nombre entier, ce dernier n'étant autre que r.
On commencera par rechercher le plus petit c>0 tel que (10k + c) soit la puissance (k-1)ème d'un entier. On recherchera pour cela le plus petit r tel que r k-1 > 10k. Dans la suite, ce "plus petit r" sera noté r*.
Par exemple, pour k = 3, on commencera par r = 32, plus petite valeur qui donne (103 + c) = un carré, ici 1024 = 32², ce qui donne c=24, d'où b=cr = 32 × 24 = 768, qui est bien un nombre de trois chiffres.
Ainsi, si on ne s'est pas trompé, n = 32768 devrait être le cube de 32 (c'est bien le cas) et répondre donc à la question.
Si l'on prend, toujours pour n = 3, r = 33, on a 33² = 1089 et le c vaudrait donc 89. Mais alors, comme b = cr, b vaudrait : 89 × 33 = 2937, qui ne convient pas car il a plus de trois chiffres.
Comme enfin la valeur de c = r² – 1000 est une fonction croissante de r, le produit b = cr sera encore plus élevé avec 34 qu'avec 33 et il est donc inutile d'aller plus loin que 32.
On dira donc que, pour k = 3, la seule solution possible est n = 32768.
Traitons maintenant le cas k = 2.
On a :
r2 = (102 + c) r
donc : r = (102 + c)
Il y a une solution très particulière. En effet, pour c = 0 on a : r =100, donc b = cr = 0, ce qui correspond à la solution : n = 1000. Mais quel que soit c strictement > 0, r est strictement >
100, donc a fortiori b = cr et il n'y a donc pas d'autre solution pour k = 2.
Pour k > 3, on procédera comme pour k = 3, c'est-à-dire que l'on commencera par le plus petit r tel que r k-1 > 10k. Puis on calculera c = rk-1 – 10k puis b = cr et enfin n = 10k r + b.
Un modeste tableur EXCEL donne les valeurs suivantes. Dans les cas où, dès r*, b comporte plus de k chiffres, il n'y a pas de solution. On vérifie en effet dans chaque cas que, au-delà de r*, b comporte plus de k chiffres.
k r* c b n
3 32 24 768 32 768 n correct
4 22 648 14 256 234 256 pas de solution
5 18 4 976 89 568 1 889 568 n correct
6 16 48 576 777 216 16 777 216 n correct
7 15 1 390 625 20 859 375 170 859 375 pas de solution
8 14 5 413 504 75 789 056 1 475 789 056 n correct
9 14 475 789 056 6 661 046 784 20 661 046 784 pas de solution
10 13 604 499 373 7 858 491 849 137 858 491 849 n correct
11 13 37 858 491 849 492 160 394 037 1 792 160 394 037 pas de solution 12 13 792 160 394 037 10 298 085 122 481 23 298 085 122 481 pas de solution 13 13 13 298 085 122 481 172 875 106 592 253 302 875 106 592 253 pas de solution 14 12 6 993 205 379 072 83 918 464 548 864 1 283 918 464 548 860 n correct 15 12 283 918 464 548 864 3 407 021 574 586 370 15 407 021 574 586 400 pas de solution 16 12 5 407 021 574 586 370 64 884 258 895 036 400 184 884 258 895 036 000 pas de solution
Le résultat est fort surprenant. Il n'y a pas de solution pour k= 4, 7, 9, 11… Arrivé à k=13 on est tenté de renoncer mais k=14 donne une solution.
Et au-delà? On remarque que r* est une fonction décroissante de k. En effet, c'est la valeur de 10 (k/k-1) arrondie à l'entier supérieur, ce qui tend vers 10 par valeurs décroissantes. Or, dès k=14, on a r*=12 donc r*≤12 quel que soit k>14. Dans toute la suite, on omettra le symbole * pour alléger les notations : r désignera r*.
Mais, pour qu'il y ait une solution, il faut que b < 10k et comme b = cr = rk – 10k r, il faut que : rk < 10k (r+1), soit encore (r/10)k < (r+1)
Il n'y a donc pas de solution si : (r/10)k ≥ (r+1)
Or on calcule aisément que r =12 de k=15 à k=25 et reste indéfiniment égal à 11 au-delà.
De k=15 à k=25, il suffit donc, pour qu'il n'y ait pas de solution, que 1,2 k ≥ 13
Mais 1,2 k est une fonction croissante de k qui dépasse la valeur 13 dès k=15.
Au-delà de k=25, il suffit, pour qu'il n'y ait pas de solution, que 1,1 k ≥ 12
Mais 1,1 k est une fonction croissante de k qui dépasse la valeur 12 à partir de k= 27.
La question de k=26 reste donc posée. Autant que l'on puisse en juger avec la précision limitée que donne EXCEL, un nombre n dont une valeur approchée est 1,191 817 653 772 72.. × 1027 est solution pour k=26. On remarque qu'il a 28 chiffres dont les deux premiers sont 11. Et de fait, quand on calcule 1126 avec la même précision limitée, on retrouve bien les mêmes 15 chiffres significatifs.
En définitive donc, les valeurs de k auxquelles correspond une valeur de n répondant à la question sont :
2, 3, 5, 6, 8, 10, 14, 26.
