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A534. Elagage jusqu’à la racine

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Academic year: 2022

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A534. Elagage jusqu’à la racine

Soit n = g×10k +d avec g > 1 entier et d un nombre d’au plus k > 1 chiffres, éventuellement complétés par des 0 à gauche, c’est-à-dired <10k.Nous cherchons tous les couples d’entiers naturels (n, k) tels que n =gk > 10k, et doncg gk−1−10k

=d.Nous en déduisons quegdivised,et en posantd=rg, nous avonsgk−1−10k =r. Si r= 0,alorsg = 10k−1

10 est entier uniquement dans le cask= 2,c’est-à-direg= 100.Sinon, nous avons 10k < gk−1610k+d, d’oùgmin =

10k−1√ 10

6g6 10k−1

20

=gmax. Puisque gmin et gmax sont deux fonctions décroissantes deket de limite 10, il n’existe plus de solution dès quegmax= 10, c’est-à-dire pourk > log 11+log 2

−1+log 11 ≈32,43. A l’aide d’un tableur nous éliminons également les cas oùgmin > gmax, c’est-à-dire les cask= 13 et k= 18 à 25.

Il n’y pas d’autre solution pourk= 2,car alors 102> d=r 102+r

>102. Pour 36 k 632 fixé, nous calculons g =gmin, puis r = gk−1−10k et nous vérifions sid=rg est bien un nombre àk chiffres. Nous itérons surg, jusqu’à ce que cette vérification échoue (puisque r est une fonction croissante deg, il est inutile d’essayer au-delà) ou à atteindregmax,auquel cas nous passons auk suivant, sauf sik= 32,condition d’arrêt final. Il y a donc 8 solutions résumées dans le tableau suivant.

k g d

2 100 00

3 32 768

5 18 89568

6 16 777216

8 14 75789056

10 13 7858491849

14 12 83918464548864

26 11 91817653772720942460132761

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