A534. Elagage jusqu’à la racine
Soit n = g×10k +d avec g > 1 entier et d un nombre d’au plus k > 1 chiffres, éventuellement complétés par des 0 à gauche, c’est-à-dired <10k.Nous cherchons tous les couples d’entiers naturels (n, k) tels que n =gk > 10k, et doncg gk−1−10k
=d.Nous en déduisons quegdivised,et en posantd=rg, nous avonsgk−1−10k =r. Si r= 0,alorsg = 10k−1√
10 est entier uniquement dans le cask= 2,c’est-à-direg= 100.Sinon, nous avons 10k < gk−1610k+d, d’oùgmin =
10k−1√ 10
6g6 10k−1√
20
=gmax. Puisque gmin et gmax sont deux fonctions décroissantes deket de limite 10, il n’existe plus de solution dès quegmax= 10, c’est-à-dire pourk > log 11+log 2
−1+log 11 ≈32,43. A l’aide d’un tableur nous éliminons également les cas oùgmin > gmax, c’est-à-dire les cask= 13 et k= 18 à 25.
Il n’y pas d’autre solution pourk= 2,car alors 102> d=r 102+r
>102. Pour 36 k 632 fixé, nous calculons g =gmin, puis r = gk−1−10k et nous vérifions sid=rg est bien un nombre àk chiffres. Nous itérons surg, jusqu’à ce que cette vérification échoue (puisque r est une fonction croissante deg, il est inutile d’essayer au-delà) ou à atteindregmax,auquel cas nous passons auk suivant, sauf sik= 32,condition d’arrêt final. Il y a donc 8 solutions résumées dans le tableau suivant.
k g d
2 100 00
3 32 768
5 18 89568
6 16 777216
8 14 75789056
10 13 7858491849
14 12 83918464548864
26 11 91817653772720942460132761
1
