PanaMaths Février 2005
Soit g la fonction définie sur 0 ;
⎤⎦+∞
⎡⎣par :
( ) 23 x 2 3 x
2 1 4
g x e
x x
−
− +− +
= + +
Déterminer les limites de g en 0 (à droite) et en +∞ .
Analyse
Par chacune des limites à déterminer, on travaille sur chaque terme de la fonction g.
L’exercice requiert de maîtriser la fonction exponentielle et le calcul des limites des fonctions rationnelles en ±∞.
Résolution
Limite en 0 à droite
On a : 3
0 0
lim 1
x
x→> x = +∞, d’où : 3
0 0
lim 2
x x→> x
− = −∞.
Par ailleurs, on a : 2 0 2 2
0 0
lim x
x x
e− + e− + e
→>
= = . Comme e2 >0, on a finalement : 3 2
0 0
lim 2 x
x x
x e
− +
→>
− = −∞
On a également :
2
0 0
4 0 4 4
lim 4
3 1 3 0 1 1
x x
x
→ x
>
− + = − + = =
+ × +
On en tire, finalement :
( )
3 2 20 0
0 0
2 4
lim lim
3 1
x
x x
x x
g x e x
x x
− +
→ →
> >
⎛− − + ⎞
= ⎜⎝ + + ⎟⎠= −∞
Limite en +∞
On a : 13
lim 0
x x
+
→+∞ = , d’où : 23
lim 0
x x
−
→+∞
− = .
PanaMaths Février 2005
Par ailleurs, on a : lim
(
2)
x x
→+∞ − + = −∞ donc : lim x 2 lim X 0
x e− + X e +
→+∞ = →−∞ = .
On en déduit : 32 2
lim x 0
x e
x
− + −
→+∞
− =
On a également :
2 2
lim 4 lim lim
3 1 3 3
x x x
x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
− + = − = − = −∞
+
On en tire, finalement :
( )
23 2 2 4lim lim
3 1
x
x x
g x e x
x x
− +
→+∞ →+∞
⎛− − + ⎞
= ⎜⎝ + + ⎟⎠= −∞
Les deux limites obtenues sont infinies et de même signe.
Dans le premier cas, c’est la fonction 23 x 2
x e
x
− − +
6 qui conduit à la limite infinie, tandis que dans le second c’est la fonction rationnelle :
2 4
3 1
x x x
− + 6 + .
Résultat final
La fonction g définie sur