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Résolution Analyse g +∞ g la fonction définie sur Soit

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Février 2005

Soit g la fonction définie sur 0 ;

+∞

par :

( ) 2

3 x 2

3 x

2

1 4

g x e

x x

− +

− +

= + +

Déterminer les limites de g en 0 (à droite) et en +∞ .

Analyse

Par chacune des limites à déterminer, on travaille sur chaque terme de la fonction g.

L’exercice requiert de maîtriser la fonction exponentielle et le calcul des limites des fonctions rationnelles en ±∞.

Résolution

Limite en 0 à droite

On a : 3

0 0

lim 1

x

x> x = +∞, d’où : 3

0 0

lim 2

x x> x

− = −∞.

Par ailleurs, on a : 2 0 2 2

0 0

lim x

x x

e− + e− + e

>

= = . Comme e2 >0, on a finalement : 3 2

0 0

lim 2 x

x x

x e

− +

>

− = −∞

On a également :

2

0 0

4 0 4 4

lim 4

3 1 3 0 1 1

x x

x

x

>

− + = − + = =

+ × +

On en tire, finalement :

( )

3 2 2

0 0

0 0

2 4

lim lim

3 1

x

x x

x x

g x e x

x x

− +

> >

⎛− − + ⎞

= ⎜⎝ + + ⎟⎠= −∞

Limite en +∞

On a : 13

lim 0

x x

+

→+∞ = , d’où : 23

lim 0

x x

→+∞

− = .

(2)

PanaMaths Février 2005

Par ailleurs, on a : lim

(

2

)

x x

→+∞ − + = −∞ donc : lim x 2 lim X 0

x e− + X e +

→+∞ = →−∞ = .

On en déduit : 32 2

lim x 0

x e

x

− +

→+∞

− =

On a également :

2 2

lim 4 lim lim

3 1 3 3

x x x

x x x

x x

→+∞ →+∞ →+∞

− + = − = − = −∞

+

On en tire, finalement :

( )

23 2 2 4

lim lim

3 1

x

x x

g x e x

x x

− +

→+∞ →+∞

⎛− − + ⎞

= ⎜⎝ + + ⎟⎠= −∞

Les deux limites obtenues sont infinies et de même signe.

Dans le premier cas, c’est la fonction 23 x 2

x e

x

− +

6 qui conduit à la limite infinie, tandis que dans le second c’est la fonction rationnelle :

2 4

3 1

x x x

− + 6 + .

Résultat final

La fonction g définie sur

]

0 ;+ ∞

[

admet −∞ comme limite en 0 à droite et en +∞.

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