A534 : Elagage jusqu’à la racine
Trouver tous les couples d’entiers naturels (n,k) avec k >1 tels que la racine k-ième de n est obtenue en supprimant les k derniers chiffres de n.
Il existe a et b entiers, tels que n=a*10k+b, avec b<10k et ak=n, donc (a/10)k=a+b/10k, d’où l’on tire k=log(a+b/10k)/(loga-1) et l’on déduit loga/(loga-1)≤k<log(a+1)/(loga-1).
Remarquons que a>10, que pour k=2 on a la solution évidente a=100 n=10000, et que k est une fonction non croissante de a. Posons u=loga/(loga-1) et v=log(a+1)/(loga-1). On peut alors établir le tableau ci dessous:
a u v
11 12 13 14 15 16 17 18 19 ... 21 22 ... 31 32 33
25,2 13,6 9,8 7,8 6,7 5,9 5,3 4,9 4,6 4,1 3,9 3,0 2,9 2,9
26,1 14,1 10,1 8,0 6,8 6,0 5,4 5,0 4,7 4,2 3,9 3,1 3,0 2,9
k 26 14 10 8 6 5 3
D’où les huit solutions:
k a n
2 3 5 6 8 10 14 26
100 10000
32 32768
18 1889568
16 16777216
14 14757889056 13 1,37858E+11 12 1,28392E+15 11 1,19182E+27
