Nom : . . . .
Prénom : . . . . Devoir n
o07
Fév. 2021 . . ./. . .
DS 04
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Attention ! Le sujet est recto-verso.
Exercice 1 : Une équation...
1 Déterminer les diviseurs de 33 dansN.
Div(33) ={1; 3; 11; 33} 2 Trouver tous les couples d’entiers naturels (x;y) tels que :x2+xy= 33.
• Soitxun entier naturel solution, alors :
x2+xy= 33 x(x+y) = 33
Comme icixetysqont des entiersx+yest un entier, doncxest un diviseur de 33.
Ainsix∈ {1; 3; 11; 33}
• Réciproquemrent :
six= 1,x2+xy= 33 ⇐⇒ 1+y= 33 ce qui donney= 32 Le couple (1; 32) est solution car 12+1×32 = 33.
six= 3,x2+xy= 33 ⇐⇒ 9 + 3y= 33 ce qui donney= 8 Le couple (3; 8) est solution car 32+ 3×9 = 33.
six= 11,x2+xy= 33 ⇐⇒ 121 + 11y= 33 ce qui donney=−8 Le couple (11;−8) n’est pas solution car xetydoivent être entiers naturels.
six= 33,x2+xy= 33 ⇐⇒ 1089 + 11y= 33 ce qui donney=−96 Le couple (33;−96) n’est pas solution carxetydoivent être entiers naturels.
S ={(1; 32); (3; 8)}
Exercice 2
1 Quels sont les restes possibles de la division euclidienne denpar 5.
En posant la division euclidienne denpar 5, on obtientn= 5k+roù 0≤r <5, ainsir∈ {0; 1; 2; 3; 4}. Les restes possibles de la division euclidienne denpar 5 sont 0,1,2, 3 et 4.
2 Démontrer que (n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2) est divisible par 5.
On remplit un tableau de congruences :
n≡ · · ·(5) 0 1 2 3 4
n−1≡ · · ·(5) -1 0 1 2 3 n−2≡ · · ·(5) -2 -1 0 1 2
n+ 1≡ · · ·(5) 1 2 3 4 0
n+ 2≡ · · ·(5) 2 3 4 0 1
(n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2)≡ · · ·(5) 0 0 0 0 0
On montre ainsi que pour tout entier natureln, on a (n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2)≡0(5).
Ce qui prouve pour tout entier natureln; que (n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2) est divisible par 5.
3 En déduire quen5−nest divisible par 5 (on pourra développer (n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2) . (n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2) = (n−2)(n+ 2)(n−1)(n+ 1)n
=n(n2−4)(n2−1)
=n(n4−5n2+ 4)
=n5−5n3+ 4n D’après la question précédente (n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2) est divisible par 5 ; Donc il existe un entier relatifktel que :
(n−2)(n−1)n(n+ 1)(n+ 2) = 5 n5−5n3+ 4n= 5k n5−n= 5n3+ 5k+ 5n
n5−n= 5(n3+k+n)
Commenetksont des entiers ; on déduit que (n3+k+n) est entier, ce qui prouve quen5−nest divisible par 5.
Exercice 3
On considère les suites (un) et (vn) définies paru0= 1, v0= 0 et, pour toutn∈N: ( un+1= 2un+vn
vn+1= 3un+ 4vn On admet que, pour toutn∈N,unetvnsont des entiers.
Le but de l’exercice est d’obtenir une expression deunetvnen fonction dengrâce au calcul matriciel, et de mettre en évidence quelques propriétés de ces deux suites.
On désigne parUnla matrice un vn
! . 1 Soitnun entier naturel.
a. Justifier queU1= 2 3
! . DéjàU1= u1
v1
!
, or d’après l’énoncén= 0 dans les relations :
( un+1= 2un+vn
vn+1= 3un+ 4vn fournit : ( u1= 2u0+v0= 2×1 + 0 = 2
v1= 3u0+ 4v0= 3×1 + 0 = 3
AinsiU1= 2 3
! .
b. Montrer queUn+1=AUnoùAest une matrice que l’on précisera.
On admet sans démonstration que pour tout entier naturelnon a : Un=AnU0. Un+1 =
un+1 vn+1
=
2un+vn 3un+ 4vn
=
2 1 3 4
un
vn
=AUnoùA=
2 1
c. Recopier l’algorithme suivant afin qu’il affiche en sortie les valeurs deuN etvN pour un entier naturelN saisi en entrée.
N etKsont des entiers naturels,U , V etWsont des entiers.
N est saisi par l’utilisateur.
1 Saisir la valeur deN
2 U←1
3 V←0
4 pourK allant de 1 àN faire
5 W← · · ·
6 U←2W+V
7 V← · · ·
8 fin
9 AfficherU etV
1 Saisir la valeur deN
2 U←1
3 V←0
4 pourKallant de 1 àN faire
5 W←U
6 U←2W+V
7 V←3W+ 4V
8 fin
9 AfficherUetV
2 a. Montrer par récurrence que pour tout entier natureln, 3un−vn= 3.
NotonsQ(n) la propriété 3un−vn= 3.
• Initialisation : comme 3u0−v0= 3×1−0 = 3 ; la propriété est vraie au rang 0.
• Transmission de l’hérédité :
soitk≥0, on suppose que 3uk−vk = 3 HR ; on doit prouver que la propriété est vraie au rangk+ 1 ; c’est-à-dire : 3uk+1−vk+1= 3
3uk+1−vk+1 = 3 (2uk+vk)−(3uk+ 4vk)
= 6uk+ 3vk−3uk−4vk
= 3uk−vk
= 3 d’après HR
• Conclusion : On a donc vérifié que la propriété est vraie au rang 0 et qu’il y a transmission de l’hérédité ; le théorème de récurrence s’appliquant, on a pour toutn≥0 , 3un−vn= 3
b. Soitdun diviseur commun deunetvn. Que peut-on affirmer surd? Sidest un diviseur commun deunetvn, , alors
( d|un d|vn
on déduit donc queddivise toute combinaison linéaire deunetvn: Ainsi
d|3un+(−1)vn Soit
d|3
Ainsi sid est un diviseur positif commun des deux nombres entiersunetvn alorsd|3 ; Comme Div(3) = {1,3}.
Les seuls diviseurs communs possibles àunetvnsont 1 et 3.
3 Soit les matricesP =
3
4 1
4
−3
4 3
4
!
etQ= 3 −1
3 3
!
a. CalculerP Q. En déduire queP est inversible etP−1=1 3Q.
P Q =
3
4 1
4
−3
4 3 4
3 −1
3 3
=
3
4×3 +14×3 34×(−1) +14×3
−3
4×3 +34×3 −3
4×(−1) +34×3
=
12
4 0
0 124
=
3 0 0 3
= 3I2
Déjà comme dét(P) = 34×3
4−
−3
4×1
4
== 1216 = 34, on déduit dét(P),0 et donc P est inversible. Comme P Q= 3I2, on déduit queP·1
3Q
=I2
DoncP est inversible etP−1=1 3Q=
1 −1
3
1 1
b. Vérifier queP−1AP est une matrice diagonaleDque l’on précisera.
P−1AP =13
3 −1
3 3
2 1 3 4
·1
4
3 1
−3 3
=121
3 −1
3 3
2 1 3 4
3 1
−3 3
=121
3 −1
3 3
3 5
−3 15
=121
12 0
0 60
=
1 0 0 5
P−1AP est une matrice diagonaleDoùD=
1 0 0 5
c. Démontrer que pour tout entier natureln,An=P DnP−1.
A l’aide d’un raisonnement par récurrence, établissons l’égalité suivante pour tout entier natureln: An=P·Dn·P−1.
• Initialisation : commeA0=I2; etP·D0·P−1=P·I2·P−1=P·P−1=I2; ainsi la propriété est vraie au rang 0.
• Transmission de l’hérédité :
soit k≥0, on suppose que Ak =P·Dk·P−1; on doit prouver que la propriété est vraie au rangk+ 1 ; c’est-à-dire :Ak+1=P·Dk+1·P−1
Ak+1 =Ak·A
=P·Dk·P−1·P·D·P−1 d’après HR et on a vuA=P·D·P−1
=P·Dk·I2·D·P−1
=P·Dk·D·P−1
=P·Dk+1·P−1
• Conclusion : On a donc vérifié que la propriété est vraie au rang 0 et qu’il y a transmission de l’hérédité ; le théorème de récurrence s’appliquant, on a pour toutn≥0 ,An=P·Dn·P−1
