Décompte d'ébéniste amateur

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Problème D343 de Diophante

Puce a confectionné un joli polyèdre convexe P1 en noyer dont deux des faces sont identiques et parallèles entre elles. Zig scie délicatement une petite pointe à chaque sommet de P1 sans que les découpes interfèrent entre elles. Il obtient un

nouveau polyèdre P2 dont il compte les sommets, les arêtes et les faces. L’un des trois entiers qu’il a calculés est égal à 23.

Question 1 - Quel est le nombre d’arêtes de P1 ? Question 2 - Décrire un exemple simple de P1. Solution

Question 1

Pour un polyèdre P1, notons s3, s4, ... , si, ... les nombres de sommets communs à 3, 4, ... , i, ... faces ; s le nombre total de sommets (somme des si) ; a le nombre d'arêtes ; f le nombre de faces. En outre, on a la relation R : s + f = a + 2

Après les découpes de Zig, le nombre de sommets de P2 est S = 3s3 + 4s4 + ... , le nombre d'arêtes est A = a + S et le nombre de faces est F = f + s.

Ainsi on a S ≥ 3s et F > S. Parmi les trois nombres S, A et F seul F est suffisamment petit pour valoir 23. De la relation R, on déduit a = 23 – 2 = 21.

Question 2

Premier exemple simple

Ce cylindre, à base heptagonale, possède 14 sommets, 21 arêtes et 9 faces.

Deuxième exemple un peu moins simple

Ce polyèdre, constitué de trois pyramides à bases carrées accolées à un cylindre de base triangulaire, possède 9 sommets, 21 arêtes et 14 faces.