D343. Décompte d'ébéniste amateur
Puce a confectionné un joli polyèdre convexe P1 en noyer dont deux des faces sont identiques et parallèles entre elles. Zig scie délicatement une petite pointe à chaque sommet de P1 sans que les découpes interfèrent entre elles. Il obtient un nouveau polyèdre P2 dont il compte les sommets, les arêtes et les faces. L’un des trois entiers qu’il a calculés est égal à 23.
Q₁ Quel est le nombre d’arêtes de P1 ? Q₂ Décrire un exemple simple de P1.
Solution proposée par Jean Nicot
P1 possède a arêtes, s sommets et f faces. P2 en possède A, S, F respectivement.
Enlever les pointes revient à supprimer tous les sommets et à en ajouter deux par arête, donc S=2a.
Cela n’enlève aucune face, mais en ajoute autant que de sommets coupés, donc F=f+s et la relation f+s=a+2 permet d’écrire F=a+2.
Cela n’enlève aucune arête, mais en ajoute, par sommet coupé, autant qu’il y a d’arêtes qui y arrivaient, soit au total 2a, donc A=a+2a et A = 3a.
23 est premier, et ne peut être que le nombre de faces F et alors a = 21.
P1 possède21 arêtes.
Un exemple simple de P1 peut être un cylindre ayant pour bases deux heptagones convexes. Ce polyèdre possède 9 faces, 21 arêtes et 14 sommets.
