Chapitre 14 : Pyramides et cônes de révolution
Introduction : Les pyramides sont présentes dans le patrimoine architectural mondial depuis l'Antiquité à commencer par la pyramide de Khéops, édifiée en 2560 avant notre ère, la seule des sept merveilles du monde à avoir résister au temps et également la plus ancienne. Un autre exemple, contemporain, est la pyramide du Louvre, conçue par l'architecte sinoaméricain Ieoh Ming Pei, faite de verre et de métal, ouverte au public en 1989, ainsi que la pyramide inversée située sous le Carrousel du Louvre et conçue par le même architecte.
I – Les pyramides
I.1 Définitions
Exemples :
On peut considérer ABCD comme une pyramide de base le triangle ABC et de sommet D. Les faces latérales sont alors les triangles BCD, ACD et ABD.
ILKLM est une pyramide de base le trapèze IJKL et de sommet M. Les faces latérales sont les triangles ILM, JKM, KLM et IJM.
Vocabulaire : La hauteur est définie comme une droite, mais par abus de langage, une hauteur peut également désigner un segment ou la longueur de ce segment.
Exemple : ABCDEFS est une pyramide de base l'hexagone ABCDEF et de sommet S.
(SH) est la hauteur de cette pyramide. H est le pied de la hauteur.
Définition : Une pyramide est un solide dont :
✔ une face est un polygone (triangle, quadrilatère, pentagone, …), on l'appelle base;
✔ les autres faces sont des triangles ayant un sommet commun; on les appelle face latérales.
Ce sommet commun est parfois appelé le sommet principal de la pyramide; il n'appartient pas à la base.
Définition : La hauteur d'une pyramide est la droite qui passe par le sommet de la pyramide est qui et perpendiculaire au plan de la base, c'est à dire à toute droite contenue dans ce plan.
I.2 Cas particuliers
I.2.1 Les pyramides dont une arête est la hauteur
Dans ce cas, le pied de la hauteur, H, est un sommet de la base.
I.2.2 Les pyramides régulières
Exemples :
ABCS est une pyramide de base le triangle équilatéral ABC et de sommet S.
ABCDS est une pyramide régulière de base le carré ABCD et de sommet S.
Remarque : Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles au point coïncidant avec le sommet de la pyramide.
Exemples :
Si la base est un triangle équilatéral, le centre H de la base est aussi le point d'intersection des médianes.
Si la base est un carré, le centre H de la base est aussi le point d'intersection des diagonales.
Définition : Une pyramide est dite régulière :
✔ si sa base est un polygone régulier, c'estàdire que ce polygone a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure;
✔ et si ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables, c'estàdire si toutes ses arêtes latérales ont la même longueur.
Propriété : La hauteur d'une pyramide régulière passe par le centre de la base, c'estàdire par le centre du cercle circonscrit à la base.
II – Les cônes de révolution
Exemple : Cône engendré par la rotation du triangle OMS
Définition : Un cône de révolution est le solide engendré par un triangle rectangle effectuant « un tour complet » autour de l'un des côtés de l'angle droit.
Définitions :
➢ La hauteur d'un cône de révolution est la droite qui passe par le sommet du cône et qui est perpendiculaire à la base en son centre. On appelle aussi hauteur le segment joignant le sommet au centre de la base ou encore la longueur de ce segment.
➢ Une génératrice est un segment qui a pour extrémités le sommet du cône et un point de son cercle de base.
Description : Un cône de révolution est formé :
➢ d'un disque appelé base
➢ d'une surface courbe appelée face latérale
➢ d'un point appelé sommet du cône
III – Les patrons
Remarques :
➢ Un tel patron peut être obtenu en découpant une feuille de papier, et le solide reconstitué par pliages.
➢ Il existe plusieurs patrons possibles pour un même solide.
I.1 Patron d'une pyramide
Exemple : le patron de la pyramide ABCDE, régulière à base carrée, est la figure obtenue en
« dépliant » la pyramide. Toutes les arêtes sont représentées en vraie grandeur.
On retrouve bien toutes les faces d'une pyramide régulière à base carrée :
➢ un carré qui représente la base,
➢ quatre triangles isocèles représentant les faces latérales.
Définition : Un patron d'un solide est une surface plane qui permet de reconstituer le solide sans superposition et sans vide.
Propriété : Le patron d'une pyramide est constitué d'un polygone qui représente la base et d'autant de triangles que le polygone a de côtés.
I.2 Patron d'un cône de révolution
Exemples :
1. le patron de ce cône est la figure obtenue en « déroulant » le cône. Toutes les figures sont représentées en vraie grandeur.
✔ L'arc de cercle a pour rayon la longueur d'une génératrice [MS].
✔ Les contours en rouge et en bleu ont la même longueur.
2. Patron du cône représenté par un cornet à glace :
Propriété : Le patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque qui représente base et d'un secteur angulaire qui représente la surface latérale tels que le périmètre de la base est égal à la longueur de l'arc de cercle de la surface latérale.
IV – Le volume d'une pyramide, d'un cône de révolution
Exemples :
Dans le cas d'un cône de révolution, si r est le rayon du disque de base, alors le volume du cône est : V=B×h
3 =r² h
3 .
Acquis de cinquième :
➢ Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un parallélogramme et dont les dimensions sont données, en particulier à partir d’un patron.
➢ Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné.
➢ Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière de ces deux solides.
➢ Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit les arêtes de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires.
Compétences attendues en fin de ce chapitre de quatrième :
➢ Observer et décrire une pyramide et un cône de révolution
➢ Réaliser le patron d’une pyramide et d'un cône de révolution de dimensions données.
➢ Utiliser des représentations en perspective cavalière de ces solides.
➢ Savoir utiliser la formule donnant le volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution.
Références :
✔ Programme des mathématiques au collège (bulletin officiel spécial n°6 du 28 août 2008).
✔ Document d'accompagnement pour la géométrie au collège (paru en juillet 2007)
✔ Manuel de quatrième, collection Phare de Hachette Education (édition avril 007).
✔ Manuel de quatrième de Bréal (édition avril 2007).
✔ Manuel de quatrième, collection Babylone de Bordas (édition août 2007)
✔ http://fr.wikipedia.org/
Note : Ce document a été réalisé à l'aide du logiciel libre Open Office Writer.
Théorème : Le volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution s'obtient en calculant le tiers du produit de la hauteur par l'aire de la base :
V=B×h 3 où :
✔ V est le volume, en unités de volume
✔ B est l'aire de la base en unités d'aire,
✔ h est la longueur, en unités de longueur.
