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Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository
Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Mareschal, B. (1990). Aide à la décision multicritère. Développements théoriques et applications (Le système d'évaluation industrielle BANK ADVISER et le système expert CHRONOS pour la prévision) (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/213177/3/dd547647-4f78-4b91-a98b-bff4fc8b0558.txt
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CD ^73^
Université Libre de Bruxelles Faculté des Sciences
AIDE A LA DECISION MULTICRITERE :
«
DEVELOPPEMENTS THEORIQUES ET APPLICATIONS.
( Le système d'évaluation industrielle BANK AD VISER et le système expert CHRONOS pour la prévision. )
Thèse présentée en vue de l'obtention du grade de
Docteur en âiences (grade légal)
0031B0413
v„ _________________________ J
Année Académique 1989-1990. Bertrand MARESCHAL
LâJLaA Àt SAUAdttAt ét ^U/Mctc(vM Àa AÂttA HuAie, jOMk* ÙuM
>Ÿ)i04hLuM( a ^AÀiciAbJC AO'ŸiiiAiJU ét AhAOMA^A*iU>hti, /yio4 4A*tUàAlAmAŸttt /UDiU d^olAMxAŸit  ^to<K4U«vil
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1
I. INTRODUCTION
L'objet de ce travail est l'étude de méthodes d'aide â la décision multicritère et le développement d'applications de ces méthodes dans deux domaines particuliers : en finance, avec le système d'évaluation industrielle BANK ADVISER et en statistique avec le système expert d'aide à la prévision CHRONOS.
Le chapitre II traite des aspects fondamentaux de l'aide à la décision multicritère.
Un premier paragraphe présente les caractéristiques des problèmes de décision multicritères et les différents types de méthodes proposées pour les résoudre. Nous y développons une approche originale des problèmes de type stochastique.
Le deuxième paragraphe décrit les méthodes PROMETHEE en détail. Il s'agit d'une famille de méthodes de surclassement construites â partir de la notion de critère généralisé.
Nous avons complété les méthodes originales PROMETHEE I et II suivant trois axes : PROMETHEE III fait appel à la notion d'ordre d'intervalle pour nuancer les résultats de PROMETHEE II;
PROMETHEE IV est,à notre connaissance, la première application du principe de surclassement au cas continu; enfin, nous proposons une extension de PROMETHEE pour le traitement de problèmes stochastiques.
Le paragraphe suivant définit une classe de méthodes multicritères additives. Cette classe regroupe des méthodes de surclassement (PROMETHEE) et des méthodes d'agrégation clas
siques (utilité additive); elle sert de cadre aux développements du paragraphe suivant.
Le paragraphe 4 est consacré â une étude approfondie du problème de la pondération des critères. Dans un premier temps, nous tentons de donner une interprétation claire des notions de poids et d'importance relative des critères. Nous passons ensuite en revue les principales approches rencontrées dans la littérature pour l'aide â la détermination des poids ou leur remplacement. Nous proposons trois approches originales et complémentaires :
- PROMETHEE VI remplace les poids par des intervalles de pondér'àtion plus faciles â déterminer;
- GAIA utilise l'analyse en composantes principales pour construire une représentation géomé
trique d'un problème multicritère sans introduire de pondération;
- la notion de polyèdre de stabilité permet d'améliorer les possibilités d'analyse de sensi
bilité sur les poids : nous définissons différents types de stabilité et plusieurs outils opérationnels (intervalles, polygones et zones de stabilité).
Enfin, le dernier paragraphe montre les possibilités d'application des techniques pro
posées, sur des données provenant d'une étude réelle.
Le chapitre III est consacré à une application financière de la méthode PROMETHEE II.
Nous avons développé un système complet d'évaluation industrielle, appelé BANK ADVISER. Le système a été implémenté sur micro-ordinateur et est actuellement opérationnel dans une banque belge. Il permet d'analyser les données comptables (bilan et compte de résultats) d'une en
treprise et de positionner l'entreprise par rapport à ses concurrentes, grâce à la notion de Banque de Référence.
Après une brève introduction au problème de l'évaluation industrielle, nous présentons une approche générale théorique, fondée sur le principe de PROMETHEE II.
Cette approche est utilisée sous une forme particulière par BANK ADVISER. Le système est décrit complètement dans le troisième paragraphe.
Le dernier chapitre est consacré au développement d'un système expert pour la prévision au moyen de modèles ARMA univariés. Nous présentons les objectifs du système dans le premier paragraphe. Ensuite, nous examinons comment l'aide à la décision multicritère peut intervenir pour faciliter l'élaboration de prévisions. Le troisième paragraphe donne une introduction générale aux principes de l'intelligence artificielle et aux systèmes experts.
Le système expert CHRONOS est présenté dans le paragraphe 4. La structure du système est détaillée. En particulier, nous présentons des développements originaux de la méthode du coin pour la spécification de modèles ARMA.
CHRONOS utilise la méthode multicritère PROMETHEE pour traiter les résultats fournis par la méthode du coin et pour aider l'utilisateur dans le choix final du modèle utilisé pour la construction de prévisions.
Le dernier paragraphe présente des résultats numériques.
A
3.
II. AIDE A LA DECISION MULTICRITERE
§ I. mucvucTion
a] PAobZèm&ô de dtcJj>-ion mxJlXicAÀtSAU
La prise de décisions est un élément fondamental de toute activité humaine, tant au plan individuel que collectif. Les conséquences importantes de certaines décisions et la complexité des processus de décision ont conduit au développement de méthodes .d'aide à la décision.
Dans ce chapitre, nous considérons le cas où la responsabilité de la décision est entre les mains d'une seule personne, appelée le décideur. Des méthodes spécifiques ont été proposées pour traiter les problèmes impliquant plusieurs décideurs (voir par exemple Colson et Mareschal, 1987).
La plupart des problèmes de décision sont des problèmes multicritères du type : Optimiser |fj(a), f2(a)... fj^(a) I a 6 a|. (2.1) A est l'ensemble des décisions possibles, souvent appelées actions, et fp f2... f|^ sont k critères d'évaluation de ces actions, qui expriment les objectifs du décideur.
Le problème (2.1) est économiquement bien posé : le décideur souhaite atteindre l'en
semble de ses objectifs, même si souvent certains d'entre eux sont contradictoires. Pour ce faire, il lui faudra accepter des compromis. L'objectif principal de l'aide à la décision multicritère est de faciliter la recherche de tels compromis.
La grande majorité des méthodes multicritères traitent des problèmes déterministes.
Dans ce cas, chaque critère f. est une fonction définie sur A et à valeurs dans un ensemble
w
ordonné Ej. :
J J
(
2.
2)
OÙ <j est une relation d'ordre total qui représente les préférences du décideur ;
®1 ^j ®2 ^®1* ®2 ^ ^j^ ®2 préféré à ep (2.3)
Pour simplifier les notations, il est commode de considérer des évaluations numériques
(Ej = F , j = 1, ..., k) et de prendre l'ordre usuel des nombres réels comme relation d'ordre.
Il est toujours possible de se ramener à ce cas, moyennant éventuellement un codage numérique des évaluations sur certains critères. Le problème (2.1) s'écrit alors :
Maximiser jfj^(a), f2(a), ..., f|^(a) I a € a|. (2.4)
Ce problème est mathématiquement mal posé : il ne possède en général pas de solution optimale. Sans information supplémentaire sur la structure des préférences du décideur, seule la relation de dominance D peut être construite sur A :
a 0 b ssi
fj(a)>fj{b) Vj, 3h I ff,(a) > f^,(b).
(2.5)
Cette relation correspond â un principe d'unanimité : l'action a domine l'action b si elle est au moins aussi bonne que b sur l'ensemble des critères et meilleure que b sur au moins un des critères. Etant donné le caractère souvent conflictuel des critères, cette relation est en général très pauvre.
Une action est dite efficace ou Pareto-optimale si elle n'est dominée par aucune autre action. Le nombre d'actions efficaces est d'autant plus élevé que la relation de dominance est pauvre.
Certaines méthodes multicritères se limitent à construire l'ensemble des actions effi
caces et à proposer celui-ci au décideur. Cette approche n'est pas satisfaisante pour deux raisons : le nombre élevé des actions efficaces ne rend pas le choix final du décideur plus facile et la notion même de dominance est criticable, car elle ne tient pas compte de la structure des préférences du décideur ni des caractéristiques particulières aux problèmes multicritères. Pour apporter une aide réelle au décideur, il est nécessaire de disposer d'in
formation complémentaire.
On distingue trois approches principales dans la littérature (Roy et al, 1975) :
a. les méthodes d'agrégation des critères :
Le problème multicritère (2.4) est ramené à un problème unicritère du type suivant :
Max |F(a) I a e a|. (2.6)
F est une fonction â valeurs réelles définie sur A. F est souvent appelée fonction d'utilité ou fonction de valeur. Cette fonction est construite en tenant compte de l'information dispo
nible concernant les préférences du décideur. Le plus souvent, on utilise une forme additive : k
F(a) = Z X. U. (fj(a)),
J “ 1 (Xj>0). (2.7)
Cette approche, fort prisée par les anglo-saxons présente plusieurs inconvénients. En premier lieu, la structure du problème (2.6) est totalement différente de celle de (2.4) : la relation de dominance est remplacée par un préordre total sur A. Le caractère multicritère du problème est perdu. De plus, la détermination des utilités marginales u. et des coefficients X. est
w V
délicate et influence fortement les résultats obtenus.
8. les méthodes interactives :
Dans ce type de méthodes, la recherche d'une solution de meilleur compromis est réalisée â l'aide d'une procédure itérative. A chaque itération, une solution est proposée au décideur.
c
Ce dernier peut se contenter de la solution proposée ou fournir des informations complémentaires sur ses préférences, qui permettront â la méthode de proposer une nouvelle solution, correspon
dant mieux aux souhaits du décideur.
Les méthodes interactives nécessitent donc un dialogue permanent, et parfois long, avec le décideur. Cet aspect constitue â la fois un avantage (le décideur exprime progressivement ses préférences, tout en apprenant à mieux connaître les aspects du problème de décision qu'il doit résoudre) et un inconvénient (ce décideur n'est pas toujours prêt à consacrer le temps nécessaire au dialogue).
y. les méthodes de surclassement :
Dans ce cas, l'information complémentaire sur les préférences du décideur est utilisée pour enrichir la relation de dominance en une relation de surclassement, fondée sur un prin
cipe de majorité. L'enrichissement est moins brutal que pour les méthodes d'agrégation et le caractère multicritère du problème est préservé.
Les principes généraux des méthodes de surclassement ont été énoncés par B. Roy en 1968, avec les méthodes ELECTRE (Roy, 1968, Roy et Bertier, 1973, Roy, 1978). Depuis, de nombreuses méthodes de surclassement ont été proposées : citons notamment PROMETHEE (Brans et al., 1984), ORESTE (Roubens, 1982) et MELCHIOR (Leclercq, 1984). Les méthodes PROMETHEE sont étudiées de façon détaillée au paragraphe 2.
Pour terminer, signalons encore que les méthodes multicritères sont également classées suivant la façon dont l'ensemble des actions réalisables A est défini. Dn parle de méthodes multiobjectifs lorsque A est un ensemble continu, défini par des contraintes. La plupart des méthodes rencontrées dans cette catégorie font appel aux techniques de la programmation mathé
matique. Les méthodes multiattributs correspondent au cas oû A est un ensemble fini, de taille modérée, défini par énumération. Dans ce travail, nous étudions principalement des méthodes multiattributs.
2° Br2^1§!!!§§_552Ç!!55tl9y§5
Dans beaucoup de problèmes de décision, les conséquences des différentes actions pos
sibles ne sont pas connues avec certitude. Plusieurs raisons peuvent être à l'origine de ce phénomène : l'imprécision des instruments d'évaluation, la difficulté de quantifier certains critères ou encore l'influence de paramètres extérieurs au problème.
Cet aspect est peu abordé dans la littérature multicritëre (Mareschal, 1986, Teghem et al., 1986, Czogala et Roubens, 1988). Il est possible de généraliser la définition (2.2) pour en tenir compte. Nous considérons pour cela que les évaluations des actions sur les diffé
rents critères sont des variables aléatoires :
fj : A T, (2.8)
où T est un ensemble de variables aléatoires réelles.
Dans le cas oû A est un ensemble fini de n actions :
A = (a^j d2j ...J * (2*9)
nous pouvons noter e^.j = f^-jj 1a fonction de répartition de e^j, E = (e.j) la matrice nxk des évaluations et F la fonction de répartition liée des évaluations.
Si la distribution liée des évaluations est connue, le problème multicritère stochastique peut être traité d'une façon très naturelle.
Considérons d'abord le cas oû la distribution de E est discrète :
(E^; Pj t = 1. .... m), (2.10)
avec et p^^ = P(E = E^) (p^^ > 0 et Z P^ = 1).
t=l
Cette situation se présente par exemple lorsque les évaluations sont fournies par m experts, Pj^ représentant alors le poids ou le degré de confiance associé à l'expert t.
A chaque valeur possible E^ de la matrice des évaluations correspond un problème multi- critëre déterministe qui peut être résolu par une méthode classique. Si nous supposons que la méthode utilisée fournit comme résultat une relation de préférence binaire sur A (en général, un préordre), nous obtenons alors m relations (ji = 1, ..., m) sur A. De plus, la distri
bution de E induit naturellement une distribution sur ces relations. Il est ainsi possible d'agréer les en une relation de préférence valuée :
S(a,b) = ^ P„. V a.b € A. (2.11)
ill(a,b)€Sj^ *■
Cette relation peut être exploitée pour fournir une aide à la décision. Une procédure possible serait de construire des flux de préférence semblables à ceux des méthodes PRO^'ETHEE (cf.
§
2).
Dans le cas particulier où les sont des préordres totaux, on peut également consi
dérer la fonction suivante : m
s(a) = I Pj r (a), V a e A, (2.12)
4=1
oû r (a) est le rang moyen de a dans S . La fonction s induit un préordre complet sur A. Si
*« 1 Xt
p^ = - , on retrouve le principe de Borda (Van Snick, 1986).
Les formules (2.11) et (2.12) se généralisent pour une distribution quelconque de E.
Notons £î c IR le support de la distribution, il vient :nxk
^(a,b)eSE ) va,b6A, (2.13)
^ ^0
oû Sp est la relation de préférence obtenue pour E = E. et : O
7.
0 si 1 si
(a.b) t Se^ ,
(a,b) e Se^. (2.14)
Pour les préordres complets :
s >"e (a) va e A.
O
(2.15)
Le champ d'application des résultats obtenus ci-dessus reste cependant limité : en ef
fet, il est indispensable pour les utiliser de connaître la distribution liée de l'ensemble des évaluations. En pratique, c'est rarement le cas et seules les distributions marginales des évaluations peuvent être estimées avec une précision suffisante. L'utilisateur est alors contraint à faire des hypothèses d'indépendance. Nous distinguons deux types d'hypothèses :
- Z’indêpmdancz "lnt>ia.-cAJXl>iz", entre les évaluations des .différentes actions sur un même critère;
- Vlndzpznda.nc.z "IntzA-cAitiAZA", entre les évaluations d'une même action sur les différents critères.
L'hypothèse d'indépendance "intra-critère" nous semble plus réaliste, particulièrement lorsque la source de l'incertitude est due au processus d'évaluation. En revanche, l'indépendance
"inter-critères" est souvent difficile à soutenir, étant donné les liens qui existent géné
ralement entre les critères.
Dans le paragraphe 2, nous développons une extension stochastique des méthodes PROMETHEE, qui ne nécessite que la connaissance des distributions marginales des e^.j et l'hypothèse d'in
dépendance "intra-critère".
b) CondLLtioni KzqwiiZyi pouA unz bonnz mzthodz nuiXxcnJXzKz
Dans le contexte de l'aide à la décision multicritère, une bonne méthode nous semble devoir satisfaire six conditions importantes.
• llï!f.Ç9D^lîi9D • L'amplitude des écarts entre évaluations doit être prise en compte et reliée aux préférences du décideur.
Cette condition n'est pas remplie par la relation de dominance (2.5).
• ?§!SI_99!]^lîi9D • Les effets d'échelles doivent être éliminés. En effet les critères sont en général exprimés sur des échelles différentes. Un changement d'échelle ne peut influen
cer les résultats.
• ?§!!?9.99!3^iLi9D • Le caractère multi critère du problème doit être préservé. En particulier, la notion d'incomparabilité entre actions est importante et permet d'exprimer un manque d'information pour décider entre deux actions. •
• ^Ê!D9.999^iîi9D • éviter que la procédure ne soit pour l'utilisateur qu'une "boîte noire". Il est important que le décideur comprenne le raisonnement tenu par la méthode. En
effet, un problème multicritëre est un problème mathématiquement mal posé et différentes méthodes peuvent procurer des solutions elles-aussi différentes. Le décideur doit donc avoir confiance en la méthode utilisée.
• §É!!î?_Ç2D^lîi9D • Il éviter l'introduction de paramètres techniques sans signification économique pour le décideur.
• §§!?f_Ç2G^iîi9D • L'analyse du caractère conflictuel des critères doit être possible afin de permettre à l'utilisateur d'améliorer sa compréhension du problème.
Les méthodes PROMETHEE décrites au paragraphe 2, complétées par la méthode de représen
tation géométrique GAIA, ont été développées en tenant compte de ces conditions.
§ 2. METHÛVES PROMETHEE
(PREFERENCE RANKING ORGANIZATION ICTHOD FOR ENRICHMENT EVALUATIONS)
Les méthodes PROMETHEE ont été proposées par J.P. Brans en 1982 (Brans, 1982). Elles ont depuis lors connu de nombreux développements et un grand nombre d'applications pratiques dans des domaines très variés :
. santé publique (D'Avignon et Mareschal, 1989), . intelligence artificielle (Du Bois et al., 1989), . défense (Struys et Pastijn, 1988),
. localisation (Mladineo et al., 1987),
. évaluation industrielle (Mareschal et Brans, 1989), . évaluation de projets, sélection d'équipement, ...
Dans une première étape, des critères généralisés sont introduits, en tenant compte de la structure des préférences du décideur. Une relation de surclassement valuée et des flux de surclassement sont alors calculés. La méthode PROMETHEE I permet de construire un préordre partiel sur un ensemble fini d'actions A. PROMETHEE II construit un préordre complet.
PROMETHEE III construit des ordres d'intervalles. Et PROMETHEE IV est une extension de PROMETHEE II au cas multiobjectif (ensemble continu d'actions). Dans ce paragraphe nous décrivons éga
lement une extension de la notion de dominance : la (X, u)-dominance, ainsi qu'une version stochastique de PROMETHEE.
a) Fonctioni de pAê^êA.enc^ eX cAÂJiinu qlnzfiaJLUii
A chaque critère fj(j = 1, ..., k) est associée une fonction de préférence
Pj : AxA -*• [0,1]. Cette fonction permet de modéliser les préférences du décideur sur le cri
tère f. : lorsque deux actions a et b sont comparées, P.(a,b) est l'intensité de la préférence de a par rapport â b, en ne prenant en compte que le seul critère fj. Pj(a,b) est un nombre compris entre 0 et 1 :
Q
. P.(a,b) =0 si a n'est pas préférée â b ou si a et b sont indifférentes,
J
. Pj(a,b) at 0 si a est faiblement préférée â b, . Pj(a,b) “1 si a est fortement préférée à b, . Pj(a,b) = 1 si a est strictement préférée à b.
En général, P.(a,b) est une fonction monotone non-décroissante de la différence entre les évaluations d. = f -(a) - f -(b), qui s'annule pour d. < 0 :J
J J J J
Pj.(a,b) = «^^(dj). (2.16
Afin de mieux visualiser la zone d'indifférence, la fonction suivante est introduite (cf.
Fig. 2.1) :
Hj(dj)
Pj(a,b) si dj>0.
Pj(b.a) si d. <0.
Le couple (f., P.) ou (f.. H.) est appelé critère généralisé.
J V JJ
(2.17)
Pour assister le décideur dans le choix d'une fonction de préférence adaptée à chaque critère, six types réalistes de fonctions ont été proposés par J.P. Brans (Fig.2.2). Cette liste n'est pas exhaustive mais semble couvrir la majorité des besoins des utilisateurs. Ainsi, les types I, II et IV sont mieux adaptés à des critères qualitatifs, et les types III, V et VI â des critères quantitatifs. De plus, les paramètres qui interviennent dans ces fonctions ont une interprétation économique claire pour le décideur :
- q, est un seuil d'indifférence : c'est la plus grande valeur de d. pour laquelle il y a in-
J J
différence entre a et b;
- p. est un seuil de préférence : c'est la plus petite valeur de d. pour laquelle a est stricte-
J J
ment préférée à b;
- O, est un seuil gaussien qui contrôle l'aplatissement de H.. On a H.(c.) = 0,39.
J J J J
_ Fig. 2.2 _
11.
6) (X, y) - dominancz (Brans et Mareschal, 1986)
La dominance classique (2.5) n'apporte qu'une aide limitée au décideur. De plus, elle ne respecte pas la première des six conditions énoncées au § 1, b).
Nous proposons d'étendre la notion de dominance de façon â éliminer ces points faibles.
Pour ce faire, nous utilisons les critères généralisés introduits précédemment.
a b
J- 3h I P^(a,b) > u,
^ Pj(b,a) < X. vj = 1, k,
(2.18)
avec x,u e [0,1) et y > X.
X est un niveau de tolérance, en général proche de 0, et y est un niveau de dominance, en gé
néral proche de 1. Pour avoir a b, il faut donc que a soit fortement préférée à b sur au moins un des critères et que b ne soit significativement préférée à a sur aucun des cri
tères,
Er2Brl2lÉ5_^?_l§_(^>yl_I_^2!!)l2§22§ •
1. Si tous les critères généralisés sont du type I, la (X, y)-dominance est équivalente à la dominance classique, quelles que soient les valeurs de X et y.
2. Si tous les critères généralisés sont de types III ou VI, la (X, y)-dominance est équiva
lente à la dominance classique pour x = y = 0.
3. Si X > X' et y > y', alors
qX’,y c oX,y c oX,y'. (2.19)
Pour des valeurs raisonnables des paramètres X et y, la (X,y)-dominance est une alter
native intéressante à la dominance classique. En effet, les deux premières conditions du § 1 b) sont satisfaites et la relation obtenue est en général plus riche que la relation classique
En pratique, le décideur considérera les actions (X, y)-efficaces.
9§fi2l5l22 • ® u)*efficace si a n'est (x,y)-dominée par aucune autre action.
Il importe toutefois de remarquer que D n'est en général pas une relation transitive. L'en semble des actions (X, y)-efficaces sera donc construit après réduction des cycles éventuels de
c) Relation dz iuAcùiiiemznt
Après avoir associé â chaque critère f. (j = 1, ..., k) un critère généralisé (f., P.),
J J J
il est possible de construire un indice de préférence multicritère :
12.
k
it(a,b) = Z w. P.(a,b), a,b € A. (2.20)
j=l J ^
w. est le poids associé au critère f. (w. >0). Ces poids représentent les importances rela-
J J J
tives des critères pour le décideur. Leur détermination est un problème délicat que nous étu
dions en détail dans le paragraphe 4.
k
Nous supposons les poids normalisés : I = 1. En conséquence n(a,b) est un nombre j=l ^
compris entre 0 et 1 que nous pouvons interpréter de la façon suivante : . n(a,b) =* 0 si a est faiblement préférée à b,
. ir(a,b) 1 si a est fortement préférée à b,
en tenant compte cette fois de l'ensemble des critères.
L'indice de préférence tt définit une relation de surclassement valuée sur A.
d) Ffux de. iuA.c.tcu,i^mzyit
La relation de surclassement définie ci-dessus est exploitée au moyen de flux de sur
classement.
1°) Elyî-^Ë.§yr£l˧§§!!!§D5.!î!ylîiç!rl5ir§§
Le io/vùmt (f>^ mesure le caractère surclasseur des actions :
^ ''(atb), (2.21)
" ^ b€A
oû n est le nombre d'actions (n = |A|). ()i^(a) donne l'intensité moyenne avec laquelle a est préférée aux autres actions.
Le (Jfux enüiant (ji’ mesure le caractère surclassé des actions :
^ n(b,a). (2.22)
i(i"(a) est l'intensité moyenne avec laquelle les autres actions sont préférées à a.
Le ilux net (f est la différence entre les flux entrant et sortant :
4)(a) = /(a) - ()i'(a). (2.23)
(ji(a) est positif lorsque a est en moyenne plus préférée aux autres actions que les autres actions ne le sont à elles; ((i(a) est négatif dans le cas contraire.
t
I.
13.
Propriétés
0 < i (a) <1 et 0 < i>‘(a) < 1, -1 < i>{a) < 1,
Z i>(a) = 0.
a€A
) Ely2_^Ê.§yr£lÊi§§!D®îîî.yDl9!riîÉi§5
(2.24) (2.25) (2.26)
Les flux multicritères peuvent être décomposés en flux uni critères qui sont utilisés dans les paragraphes 3 et 4.
En considérant la formule (2.20), il vient :
" ^ b€A l-j = l J ^ J
= I w. ,),.(a), k + j=l J ^
en introduisant le flux sortant unicritère ())j :
^ P-j(3«b) • J " ^ b€A J
De la même façon, on définit les flux entrant et net uni critères
“ rPl ^ P.-(b,a), J " ^ b€A
<('j(a) = 4'j(a) - i>J(a).
(2.27)
(2.28)
(2.29) (2.30)
Ces flux de surclassement possèdent les mêmes propriétés que les flux multicritères correspon
dants. Trois propriétés additionnelles intéressantes peuvent être démontrées.
Er9Bri§5É.i • Ç°!îÉr§D9?_ayeç_les_évaluations
^t(a) >*t(b),
fj(a)>fj(b)* tj(a) <(^j(b), (2.31)
<l>j(a) > '(>j(b).
Les préordres induits sur A par les flux de surclassement unicritères sont cohérents avec les évaluations. La démonstration de cette propriété découle directement du caractère monotone non décroissant des fonctions de préférence.
Er2B!riÉl§_? • critère généralisé de type I (critère usuel), la relation suivante est vérifiée :
♦j(a) = ((n+1) - 2 rj(a))/(n-l), (2.32) oü r.(a) est le rang moyen de a dans le préordre induit par f. sur A.
J J
Démonstration : Soit A = {a^ ^2' •••• ’^i ~ Supposons de plus que :
Xi > X2 > ... > Xn- (2.33)
Si nous considérons l'action a^ (1 <i <n), les évaluations se répartissent de la façon sui
vante :
... > X^_j > = ... = X. =
= ^ > ’^s+l ^ r-1 évaluations h = s-r+1 ex-aequo
supérieures à x^
n-s évaluations inférieures à x^
Pour un critère usuel, le flux net unicritère s'écrit alors :
^.(a.) = igis).- (r-1) , n±l . _
J' V fn n-l n-1
D'autre part, nous obtenons pour le rang moyen de a^. :
r,-(ai) = -^ I t = -J I (r+t-1) = r + ^ - 1 = ^ J ^ " t=r " t=l
En comparant (2.35) et (2.36), on obtient la relation (2.32).
(2.34)
(2.35)
(2.36)
Er9ErlÉÎÉ_3 • Pour un critère généralisé de type III (critère linéaire), lorsque la condition suivante est remplie :
p. > max (f.(a)} - min {f.(a)>.
^ a€A ^ a€A
(2.37)
on montre la relation suivante : 4 (a) -
- ITT oû fj = (r fj(a))/n.
(2.38)
Démonstration : Sous la condition (2.37), la relation suivante est vérifiée pour toute paire d'actions a,b € A :
|fj.(a) - fj(b)| <py
Dès lors, la fonction H. associée au critère généralisé se réduit à U
(2.39)
et le flux net uni critère devient :
(2.41)
Et la propriété est démontrée.
Les propriétés 2 et 3 illustrent deux cas extrêmes dans lesquels le flux net unicritère est, à une transformation linéaire près, égal aux rangs associés aux évaluations ou aux évalua
tions elles-mêmes. En pratique, (fi. fournit un type d'échelle intermédiaire qui tient compte des
J
écarts entre les évaluations sans être trop sensible à la présence de valeurs extrêmes anormales . e) PRÛMETHEE I eX II
PROMETHEE I construit un préordre partiel sur A en considérant les flux multicritères sortant et entrant. Etant donné qu'une action a est d'autant meilleure que i|i^(a) est grand et que i(i'(a) est petit, le préordre est construit de la façon suivante :
/
a Pj b (a est préférée à b) si > i)>^(b) et < <l>'(b), (avec au moins une inégalité stricte) 1 a Ij b (a et b indifférentes) si ♦^(a) = i|>^(b) et i|)”(a) = ii)”(b),
a R b (a et b incomparables) si a/P^ b, byf'j a et a b.
V
Certaines actions restent donc incomparables ; seules les préférences solidement éta
blies et confirmées par les deux flux sont présentées au décideur.
La relation (Pj, Ij, R) est un enrichissement du préordre de dominance. Cette propriété est une conséquence de la relation (2.31) :
fj(a) >fj(b), j = 1, .... k - <^^(a) >/(b),
<j,‘(a) < 4i‘(b),
■* a Pj b ou a Ij b.
(2.43)
En particulier, les actions sans prédécesseurs dans le graphe de la relation Pj U Ij sont des actions efficaces.
PROMETHEE II fournit un préordre complet sur A. Pour ce faire, le flux net multicritère est utilisé :
a P„ b si ip(a) > i|)(b), a Ijj b si 4>(a) = (fi(b).
(2.44)
Dans cette relation, toutes les actions sont comparables. L'information fournie est moins riche et parfois plus discutable. PROMETHEE II conserve cependant un intérêt certain dans les cas oû l'obtention d'un classement des actions est requise par le décideur.
,() PROMETHEE III (Mareschal, 1983)
L'indifférence entre deux actions dans les préordres de PROMETHEE I et II n'apparaît que lorsque les flux correspondants sont égaux. Etant donné le caractère valué de la relation de surclassement, il n'y a que très rarement des situations d'indifférence dans ces préordres.
De plus, cette notion présente un caractère instable.
En pratique, si l'écart entre les flux correspondants à deux actions est petit, on peut raisonnablement considérer ces deux actions comme indifférentes. La méthode PROMETHEE III a été conçue dans ce sens.
Les flux de surclassement définis en (2.21), (2.22) et (2.23) sont remplacés par des intervalles de flux. Considérons tout d'abord le flux net ii(a). Nous avons vu que i'(a) est la moyenne des bilans de préférence entre a et les autres actions. PROMETHEE III utilise également
leur variance :
a(a) I
b€A
n(a,b) n(b,a) (2.45)
L'intervalle de flux est donné par la formule suivante :
()i(a) + a . a(a). (2.46)
avec a > 0.
La donnée des intervalles associés aux n actions de A permet de construire un ordre d'inter
valle :
a P„j b
a Ijjj b
\
si Ij,(a) - a.a(a) > ((i(b) + a.a(b), (les intervalles sont disjoints)
• J't’(a) - o.o(a) < i)(b) + a.o(b), ((ji(b) - a.o(b) <(j)(a) + a.o(a).
(les intervalles ont une intersection non vide) La relation d'indifférence Ijjj ainsi définie est non transitive.
Le paramètre a est fixé de façon heuristique : a ne doit être ni trop petit (on re
trouve alors PROMETHEE II) ni trop grand (à la limite, toutes les actions sont alors indiffé
rentes. Pour ne mettre en évidence que les écarts faibles entre flux, relativement à leur dispersion, la formule suivante peut être utilisée :
1
17.
Max <(i(a) - Min (j)(a) _a___________a______
2 I o(a) a
(2.47)
Il est également possible de se ramener à un préordre sur A (avec une relation d'indif
férence transitive). Pour cela, il faut réduire a. Une procédure itérative a été proposée â cet effet (voir Mareschal, 1983).
Le même raisonnement peut être suivi en considérant les flux sortant et entrant <(>^ et ((>".
On obtient alors un ordre d'intervalle partiel qui peut être ramené â un préodre partiel.
g) PROMETHEE IV (Mareschal, 1983)
PROMETHEE IV est une extension de PROMETHEE II au cas multi-objectif (ensemble continu d'actions).
Nous considérons donc ici que A est un sous-ensemble compact de IR”^ et que les critères fj, f2, .... f|^ sont des fonctions bornées et presque partout continues, définies sur A. Les définitions des critères généralisés et de l'indice de préférence multicritère (2.20) restent inchangées. En revanche, les flux nets de surclassement sont maintenant définis de la façon suivante :
♦j(a) = (Pj(a,b) - Pj(b,a)) db, (2.48)
k
4,(a) = I w. <|).(a). (2.49)
j=l ^ ■J
Dans certains cas simples, il est possible d'obtenir l'expression de iiJa) : pour
V
A = [0,1], avec un critère généralisé de type I à V et une fonction fj linéaire par morceaux des formules ont été calculées (Mareschal,1983); il est possible également de considérer des fonctions f. quadratiques.
%J
Dans des cas plus compliqués, il faudra recourir à une méthode d'intégration numérique pour évaluer .(a).
J
La recherche d'un préordre sur A n'a plus de sens dans le contexte présent. PROMETHEE IV permet de résoudre un problème de sélection d'une ou d'un ensemble d'actions optimales : la solution proposée au décideur est donnée par le sous-ensemble suivant :
G = |a € A I (),(a) > * - fij (2.50)
avec î = max (|)(a) et 6 >0. 5 est un paramètre qui tient compte des objectifs du décideur aeA
(choix d'une ou de plusieurs actions) et aussi de la précision des calculs.
18.
fl) ExX&ni.ion au t>iciiXzme.nt dz p^obZlimé ^-toc/iaâ-tcqtieâ
L'approche générale présentée dans le paragraphe précédent peut être utilisée dans le cadre des méthodes PROMETHEE (Mareschal, 1986).
La structure particulière des méthodes PROMETHEE permet cependant de tenir compte du caractère stochastique d'un problème de décision sans devoir introduire de trop fortes hypo
thèses d'indépendance entre les évaluations, lorsque la distribution liée de ces évaluations est inconnue. En effet, les flux de surclassement unicritères sont des combinaisons linéaires des fonctions de préférence ((2.28) à (2.30)). Il est donc possible de calculer la valeur moyenne des flux si nous connaissons la distribution des différences entre évaluations :
pendance deux à deux "intracritère" peut être considérée. Cette hypothèse est en général assez réaliste.
cée pour le calcul des flux par sa moyenne EPFj (Expected Preference Fonction). Des résultats
V ip i2» j- (2.51)
Si seules les distributions marginales des évaluations e.. sont connues, une hypothèse d'indé-
’ V
En pratique, si le critère f. est stochastique, la fonction de préférence P. est rempla-
J J
directs sont obtenus pour EPFp
J
Convenons de noter A- la fonction de répartition de d. :
J J
Aj(6) = Pr(dj < S). (2.52)
Pour un critère généralisé de type IV (critère à palier), EPF. est donné par : J
A(qj) + A(Pj)
(2.53) Pour un critère généralisé linéaire de type V, on obtient :
(2.54)
Dans ce cas, l'expression finale de EPF. dépend de la distribution considérée. A titre d'exemple,
w
si 5 suit une loi normale N(y; c), il vient :
(2.55)
Des formules analogues peuvent être obtenues pour les critères généralisés de types I, II et III en particularisant (2.53) et (2.54).
19 .
It
Enfin, pour le critère généralisé gaussien de type VI, on obtient :
EPF , .
r
(l - e ) d.(a) (2.56)Cette intégrale devra être évaluée numériquement.
Des exemples numériques ont pu montrer que cette approche relativement simple fournit de bons résultats (cf. Mareschal, 1986).
§ 3. METHOVES MULTICRITERES AÿVITIVES
Dans ce paragraphe, nous introduisons une classe générale de méthodes multicritères, qui inclut aussi bien des méthodes d'agrégation que des méthodes de surclassement. Le point commun entre ces méthodes est qu'elles utilisent toutes un même principe général d'agrégation C'est dans ce cadre que la plupart des résultats du paragraphe suivant sont développés.
L'aide à la décision fournie par la plupart des méthodes multicritères consiste en une relation de préférence sur l'ensemble A des actions possibles. Les méthodes additives décrites ici se caractérisent par le mode de construction de cette relation.
a) Méthodes additiv&s
9§fiDiîl9!] •
Une méthode multicritère est une méthode additive d'ordre r(r>0) si
(i) elle construit une relation de préférence (P,I,R) sur A (P = préférence, I = in
différence, R = incomparabilité);
(ii) il existe r fonctions à valeurs réelles définies sur A, de la forme :
(a) =
j=l ^ (2.57)
O
A\
k j=l ^
= 1)
; que 1 'on ait , pour tous a, b e A :
a P b ssi Vj^(a) > Vjj(b) vt = 1, ..., r (avec au moins une >),
a I b ssi Vj^(a) Vj^(b) Vi = 1... r , (2.58)
a R b ssi a.P'b, bXa, a/f b.
La relation (2.58) est un prêodre partiel pour r > 1 et un préordre complet pour r = 1.
La notation V . (f.(a), fj(A)) indique que les fonctions V . peuvent dépendre non seu-X.J J J X.J lement de fj(a) mais également des évaluations des autres actions oe A.
20.
2°) Exemples :
a. Fonction d'atititê addCtivc :
De nombreuses méthodes d'agrégation utilisent une fonction d'utilité additive du type (2.7) pour construire un préordre complet sur A. Ce sont des méthodes additives d'ordre 1 : en effet, si nous posons :
a I b ssi F(a) = F(b).
8. PROMETHEE I ;
Le préordre partiel de PROMETHEE I est construit au moyen des flux sortant (2.21) et entrant (2.22). Etant données les relations entre flux multicritères et flux unicritères
(cf. (2.27)), on peut montrer que PROMETHEE I est une méthode additive d'ordre 2. A cet effet, posons :
et le préordre (2.58) est équivalent à celui de (2.42).
Y. PROMETHEE II :
PROMETHEE II utilise uniquement le flux net (2.23) pour construire un préordre complet (2.44) sur A. Il s'agit d'une méthode additive d'ordre 1. Pour le vérifier, il suffit de poser :
J “ 1, •••, R, (2.59)
Vij(fj(a),fj(A))=u.(f.(a)), (2.60)
la fonction n'est autre que la fonction d'utilité : k
et la relation (2.58) se réduit au préordre complet suivant : a P b ssi F(a) > F(b),
(2.62)
Vij(fj(a), fj(A)) = ,t(a). (2.63)
V2j(fj(a), fj(A)) = -*:(a); (2.64)
il vient alors :
Vj(a) = /(a) et Vg(a) = -(!.'(a). (2.65)
Vij(fj(a), f.(A)) = ,.(a)
(
2.
66)
Üt
21.
/
on obtient alors :
Vi(a)=<Ka). (2.67)
Il est intéressant de remarquer que les méthodes PROMETHEE I et II et les méthodes uti
lisant une fonction d'utilité additive font appel à un même principe général d'agrégation. Il existe toutefois une différence importante entre ces deux familles de méthodes : dans le cas des méthodes PROMETHEE, les fonctions dépendent effectivement de l'ensemble des évaluations fj(A). Ce n'est pas le cas pour les méthodes citées au point a. Les fonctions d'utilité mar
ginales U. fournissent donc une évaluation des actions par rapport â une référence absolue, J
indépendante de A. En revanche, les flux de surclassement uni critères de PROMETHEE donnent une évaluation qui tient compte de la structure de A. Il s'agit là d'une différence primordiale entre fonctions d'utilité et flux de surclassement.
6. VonU.na.ncz :
La relation de dominance (2.5) peut être étendue en une relation de type (P, I, R) de la façon suivante :
a P b ssi fj(a) > ^j(b). vj = 1, ..., k. (avec au moins une > )
a I b ssi fj(a) fj(b). vj = 1, ..., k. (2.68)
a R b ssi a /b, b a, a ^b.
Cette relation peut être considérée comme le résultat d'une méthode additive d'ordre k.
Il suffit de poser :
J J
oû 6 est le symbole de Kronecker, et nous obtenons ; Vj(a) = ^ = 1... k.
(2.69)
(2.70) Dans ce cas, les poids Wj ne jouent pas de rôle dans la construction de la relation de préférence (2.58).
b) AuXAzi tiipzA dz mtthodzi
Nous venons de montrer que la classe des méthodes multicritères additives regroupe des approches fort différentes. Il importe cependant de remarquer qu'un assez grand nombre de méthodes multicritères ne sont pas additives : nous pouvons citer notamment les méthodes
ELECTRE (Roy, 1968, 1973, 1978; Roy et Hugonnard, 1981), ORESTE (Roubens, 1982; Pastijn, 1988), MELCHIOR (Leclercq, 1984) et, de façon générale, les méthodes interactives.
A titre d'exemple, considérons la méthode ELECTRE I (Roy, 1968).
ELECTRE I permet d'isoler un nombre restreint de "bonnes" solutions parmi un ensemble fini d'actions possibles A. Pour ce faire, un poids w. > 0 est associé à chaque critère f.
w J
22.
(j = 1, .... k). Les quantités suivantes sont alors calculées pour chaque paire (a,b) d'actions de A :
P'''(a,b) = I w., (poids des critères pour lesquels a est préférée à b)(2.71) j|fj(a)>fj(b) J
P"(a,b) = Z w.. (poids des critères pour lesquels b est préférée à a)(2.72) jlfj(a)<fj(b) J
Une relation de surclassement est construite sur A par l'intermédiaire d'un principe de con
cordance :
a surclasse b ssi P''’(a,b) > X P"(a,b),
où X(X > 1) est un seuil de concordance fixé par le décideur. Un principe de discordance per
met d'éviter certains surclassements abusifs :
a ne peut surclasser b si 3j I f-(b) - f.(a)>v., (2.74)
J w «J
où Vj (Vj >0) est un seuil de discordance.
Le noyau du graphe de la relation de surclassement ainsi obtenue, après réduction des cycles éventuels, est alors proposé au décideur. Ce noyau contient en général des actions relati
vement différenciées et qui constituent des solutions de bon compromis.
Remarquons encore qu'il existe d'autres variantes de la méthode ELECTRE I dans la lit
térature. Toutes reposent sur le même principe de concordance-discordance. Il en va de même pour la méthode ELECTRE II, qui permet de construire un prêordre sur A.
§ 4. POWPERATION VES CRITERES
La grande majorité des méthodes multicritères font intervenir une pondération des cri
tères. L'interprétation et la détermination des poids sont des problèmes délicats, qui ont donné lieu â de nombreuses études. Dans ce paragraphe, nous présentons les principaux aspects de ces études et proposons des solutions originales.
a. IntzAp^ëtcLtion de la notion de po-icU
De façon générale, les poids permettent de traduire l'importance qu'accorde le déci
deur aux différents critères. A chaque critère f. (j = 1, ...,k) est associé un poids w- > 0
J V
tel que, tous les autres paramètres du problème restant inchangés, w. est d'autant plus grand que le critère f. est important. Les w. sont définis à une constante multiplicative près,J
w J
de sorte qu'il n'est pas restrictif de considérer des poids normés de la façon suivante : k
I w. = 1. (2.75)
j=l
Il est difficile d'aller au-delâ de cette esquisse de définition tout en restant à un niveau suffisamment général. En effet, l'interprétation de la notion de poids est fondamentalement
23.
liée â la méthode multicritëre utilisée. Pour le montrer, nous allons étudier deux cas parti
culiers.
Tout d'abord, nous considérons une fonction d'utilité additive du type : k
F(a) = Z w. f^(a). (2.76)
j=l ^ J
Dans ce cas, les poids Wj contiennent non seulement de l'information sur les importances rela
tives des critères mais servent également de facteurs d'échelles pour uniformiser les unités dans lesquelles les différents critères sont exprimés. Ainsi, si l'on change l'unité de mesure de f., le poids w. est modifié.
J J
Ce type de méthode présente un aspect compensatoire (Bouysson, 1986) : toute perte A.
1 sur un critère fj^ peut être compensée par un gain Aj2 sur un autre critère fj2- Les rapports des poids des critères fournissent des taux de substitution :
J1J2 w. J
(2.77)
qui peuvent être déterminés interactivement par le décideur.
Examinons maintenant le rôle des poids dans la méthode ELECTRE I : dans ce cas, les poids sont totalement indépendants des unités de mesure et expriment uniquement les importances rela
tives des critères.
Un même problème, traité â l'aide des deux méthodes, demandera donc de déterminer deux ensembles de poids différents.
Le cas des méthodes PROMETHEE est fort semblable â celui d'ELECTRE I : les effets d'échelles y sont éliminés par l'utilisation des critères généralisés. Une question fondamen
tale reste cependant ouverte : la logique d'agrégation des deux méthodes étant différente, peut-on donner exactement la même interprétation aux poids utilisés par chacune ?
Pour conclure, nous pouvons dire qu'il est difficile d'axiomatiser la notion de poids.
Ce problème est lié aux méthodes utilisées et également aux perceptions du décideur. Néan
moins, il est également difficile de se passer totalement de la notion de poids dans un contexte multicritère. De plus, la pratique montre que les décideurs interprètent en général facilement cette notion. Il importe donc de construire des outils leur permettant de mieux quantifier cette information. Nous distinguons trois types d'approches :
. la conception de méthodes d'aide à la détermination des poids, préalablement â l'utilisation d'une méthode multicritëre;
. le développement de méthodes multicritëres spécifiques permettant de relâcher l'hypothèse de pondération (méthodes ordinales, intervalles de pondération, ...);
. l'analyse de la sensibilité des résultats obtenus à une variation de la pondération.
De nombreuses méthodes d'aide 3 la détermination des poids ont été proposées dans la littérature (e.a. Eckenrode, 1965; Solymosi et Dombi, 1986; Harker et Vargas, 1987).
Dans le cas de méthodes compensatoires du type (2.76), le problème se ramène 3 la déter
mination des taux de substitution (2.77).
Dans les autres cas, oû les poids ne représentent que les importances relatives des cri
tères, nous pouvons considérer deux principaux types d'approches :
1°) îjÉ5l!2d?§_E5r_§^j9G£îl9D_^Ê.?2DÎr§iDΧ5_5!ir_l§l_B9i^§ •
Certaines méthodes (Solymosi et Dombi, duire l'espace des poids admissibles.
1986; Mond et Rosinger, 1985) permettent de ré-
vj et I w. = 1) , k 1 (2.78)
j=l J J
au terme d'un dialogue avec le décideur. Les réponses aux questions posées se traduisent par des contraintes qui doivent être satisfaites par les poids. Dans la plupart des cas, il est fait appel 3 une propriété d'additivité des poids : si J = {j^, •••>
représente un sous-ensemble de critères, alors le poids associé 3 J est donné par :
w, = I w. . (2.79)
j€J J
Cette propriété n'a de sens que si les w. ne représentent que les importance relatives des cri-
V
tères, ce qui exclut le cas (2.76).
Ainsi, il est possible d'exprimer que le groupe formé par les critères fp f2 et f^ est globalement plus important que le groupe f^, fg, au moyen de la contrainte suivante :
Wi + v<2 + W3 > W4 + Wg. (2.80)
Progressivement, l'espace des poids réalisables se réduit et des estimations des w.
J
peuvent être proposées au décideur.
Le type de dialogue et la façon dont les poids sont déterminés en fin de procédure varient suivant la méthode considérée.
Parmi les avantages liés 3 l'utilisation de ces méthodes, nous pouvons citer :
. le caractère ordinal des questions posées au décideur (ce dernier n'est pas obligé de quanti
fier de façon précise ses réponses);
. le nombre de questions posées est en général relativement limité, ce qui ne rend pas la procédure trop lourde en pratique.
25.
En revanche, il faut noter que :
. la détermination des poids se fait totalement indépendamment de la méthode multicritère qui sera utilisée par la suite;
. l'estimation des w. peut être imprécise, en fonction des réponses fournies par le décideur.
U
2°) M§îh2des_utilisant_une_infonpation_redgndan^ :
Une approche possible pour déterminer les w. est de demander au décideur d'évaluer les
w
rapports :
^ , j = 1... k-1, ”i (2.81)
”j+l
et de tenir compte ensuite de la normalisation (2.75). Cette procédure est rapide mais fort imprécise, une seule erreur pouvant se répercuter fortement sur l'ensemble des poids.
Afin d'améliorer les performances de cette procédure, il est possible d'augmenter le nombre de comparaisons. Ainsi la méthode AHP (Analytic Hierarchy Process) de Saaty (Saaty,
1980, 1986, 1987; Harker et Vargas, 1987) considère l'ensemble des k(k-l)/2 paires de critères.
On obtient ainsi une matrice réciproque formée par les évaluations des rapports des poids :
' ■ Clj' ’-jj ■ '■ji ■ ■ (2-“>
Notons que les r.. sont déterminés à l'aide d'une échelle numérique (les nombres entiers de 1 à
* J
9) fixée par Saaty, à chaque échelon de laquelle est associée une interprétation sémantique particulière.
Si toutes les réponses fournies par le décideur sont cohérentes, alors :
r.. U Vi,j. (2.83)
On montre alors aisément que le vecteur w = (w^ ..., Wj^) des poids est un vecteur propre de R, associé à la valeur propre k.
En pratique, les réponses présentent un certain degré d'incohérence. L'information redondante contenue dans R permet de détecter et de mesurer cette incohérence. On peut montrer qu'une matrice réelle positive réciproque kxk possède une valeur propre réelle maximale x su
périeure ou égale à k. Si la matrice est cohérente, cette valeur propre est égale à k, et, de façon générale, X augmente avec le degré d'incohérence. Saaty définit un indice de cohé
rence :
IC = X - k, (2.84)
qui est comparé à des valeurs critiques obtenues par simulation. Le vecteur propre normalisé associé à x est proposé comme estimation des Wj.
L'approche de Saaty présente l'avantage de pouvoir détecter les incohérences du décideur et d'utiliser une information redondante pour affiner les résultats.
L'inconvénient principal de la méthode est le volume important d'information requise (k(k-l)/2 questions au décideur). Il est dxfficilement envisageable d'utiliser cette procé
dure lorsque le nombre de critères est grand (> 10). De plus, l'échelle sémantique proposée par Saaty peut être critiquée.
Pour terminer, notons que l'AHP est présenté dans le cadre plus général de problèmes de décision de type hiérarchique, pour lesquels des poids sont définis à chaque niveau d'une hié
rarchie, comprenant des objectifs généraux, des critères d'évaluation propres à chaque objectif et, au niveau le plus bas, les actions réalisables.
3°) Ç9DÇly§Î9D •
La plupart des méthodes d'aide à la détermination des poids requièrent une participation active, parfois fort longue, du décideur. Les résultats obtenus peuvent être imprécis et sont en général indépendants de la méthode multicritère choisie. Ces méthodes peuvent donc être considérées comme peu efficace et ne dispensent pas l'utilisateur d'effectuer une analyse de la sensibilité des résultats à des modifications de ces poids.
En conséquence, il nous semble important de développer deux axes de recherche :
. le développement de méthodes multicritères spécifiques dans lesquelles les poids soient dé
terminés de façon propre â la méthode ou dans lesquelles l'information sur l'importance des critères est fournie d'une autre façon;
. le développement d'outils performants pour mener à bien une analyse de sensibilité.
c. AppA.ocÂu atteAncutivu
1°) t)§îtl9^Ç9_5BÊSifl99§l
Devant la difficulté de déterminer avec précision un ensemble de poids, diverses méthodes ont été proposées qui ne nécessitent pas de pondération directe des critères.
Parmi celles-ci, nous pouvons citer ELECTRE IV (Roy et Hugonnard, 1981) qui n'utilise aucune information relative aux importances relatives des critères. Tous les critères sont donc mis sur un même pied et il est possible de montrer (Mareschal, 1983) que ce traitement équivaut â donner des poids égaux aux critères. Néanmoins, la procédure d'agrégation est conçue de façon â ce qu'aucun critère n'ait ni trop ni trop peu d'influence sur les résultats.
La méthode est donc particulièrement bien adaptée â la résolution de problèmes où les critères représentent les intérêts de différents acteurs impliqués dans le processus de décision.
D'autres méthodes, comme ORESTE (Roubens, 1982; Pastijn, 1988) et MELCHIOR (Leclercq, 1984), sont essentiellement ordinales : le décideur se limite â construire un préordre, complet ou par
tiel, sur l'ensemble des critères.
27.
Dans les deux cas, T information fournie à la méthode est beaucoup plus pauvre que celle fournie les poids. En conséquence, les résultats obtenus sont en général plus pauvres également.
Il apparaît donc intéressant-de-conserver la notion de poids, qui de plus est générale
ment bien acceptée par les décideurs. Dans le paragraphe suivant, nous proposons une extension de PROMETHEE II dans laquelle les poids ponctuels sont remplacés par des intervalles de pondé
ration. Il est ainsi possible d'exploiter l'information quantitative fournie par les poids tout en tenant compte de l'imprécision qu'ils comportent.
2° ) E9D^S!r5îi2D-iDΧrïillÊ_I_LË_!!!?î!3°^S_EB95^§ît]i§_n*
(* PROMETHEE V est en cours de développement et n'est pas présentée dans ce travail).
Souvent, le décideur est prêt â donner des poids aux différents critères tout en ayant une certaine imprécision quant à leurs valeurs numériques. Nous supposons ici que le décideur peut fournir pour chaque critère f. (j = 1, ..., k) un intervalle de pondération
J
où W- et sont respectivement les valeurs minimale et maximale du poids non-normalisé W. de f..
JJ JJ
Pour chaque jeu de poids compatible avec les intervalles : W. < W. < WT
J J J 1, ..., k.
(
2.
86)
la méthode PROMETHEE II peut être utilisée pour construire un préordre complet sur A. Il est possible de construire l'intersection de l'ensemble de ces préordres. A cet effet, nous intro
duisons les notations suivantes :
k k
6(a,b) = Z Wj [*j(a) - *j(b)] = ( z [t(a) - ♦(b)],
J—1 J—1
Aj(a,b) = <Pj(a) - *j(b).
(2.87)
(
2.
88)
Dans le préordre PROMETHEE II (2.44), nous avons les relations suivantes : . a Pji b ssi 6(a,b) > 0,
a Ijj b ■ ssi 6(a,b) = 0.
(2.89)
D'autre part, il est possible de calculer les valeurs minimale et maximale de 6(a,b) lorsque les conditions (2.86) sont vérifiées. En effet, il résulte des définitions (2.87) et (2.88) que :
k
6(a,b) = Z A,(a,b). (2.90)
j=l ^
Dès lors nous obtenons les limites suivantes :
<4(a,b) <6|^(a,b). (2.91)
avec :
et
6ja,b) = I wjA.(a,b),
J ^
(2.92)
u'i' _ Wj si _ûj(a,b) <0,
(2.93) Wj si Aj(a,b) > 0,
k „
6„(a,b) = Z w'V A.(a,b),
f j=l J J (2.94)
“3-
w: si Aj.(a,b) <0,
(2.95) Wj si Aj(a,b) > 0.
Le préordre partiel PROMETHEE VI est alors défini comme suit : a Pyj b ssi 6jj,(a,b)>0 et 6n^(a,b)>0,
a lyj b ssi (2.96)
a Ryj b ssi «n,(a.b) . ô^(a,b) < 0.
Les propriétés suivantes se démontrent aisément :
E!T9Eri§t§_l • Wj = Wj, j = 1, k, alors le préordre (2.96) est égal au préordre PROMETHEE II (2.44).
Progriété_2 : Si WT‘ < wT et wt' > wt, j = 1, .... k, alors
JJ JJ
a P^i b - (a P„j b) V(a I„, b),
(2.97) a I^I b - a lyj b.
Cette dernière propriété montre que la relation obtenue est d'autant plus riche que les intervalles de pondération sont petits. Si le décideur est capable de fixer les poids avec pré
cision, on retrouve le préordre complet de PROMETHEE II.
PROMETHEE VI ne fournit qu'une information sûre, qui reste vérifiée pour tous les jeux de poids correspondant aux intervalles de pondération.
3° ) yi§yÊli5ËÎi2D_9É2!D§îrl9y§_^˧_B9i^§_I_L§_!P§î!]9^®-9AI^
(Geometrical Analysis for Interactive Assistance)(Mareschal et Brans, 1988).
La méthode GAIA permet d'aborder le problème de la pondération sous un autre angle.
Dans un premier temps, aucune pondération n'est introduite et une représentation géométrique du problème multicritère est construite à l'aide de l'analyse en composantes principales. Il est alors possible de visualiser l'impact d'une pondération particulière des critères sur le préordre PROMETHEE II. La méthode permet donc au décideur de mieux comprendre la structure du problème de décision et de déterminer de façon interactive les poids des critères.
29 .
a.Construction du plan GAIA
Nous considérons la matrice formée par les flux nets uni critères :
— •••
♦ l(a2) ... i>j(a2) ... *|^(a2)
$ =
♦j(a.) ... 4ij(a^) ... ii|^(a^.)
*" h("n) ••• *j(^n) ••• M®n) Cette matrice possède les propriétés suivantes :
. elle est cohérente avec la matrice des évaluations (f^(a-)) en vertu de la propriété (2.31) des flux uni critères;
. elle tient compte de la structure des préférences du décideur et permet d'exprimer tous les critères sur une même échelle (intensité de préférence).
“1
(2.98)
A chaque action a. (i = 1, ...,n) est associé un vecteur a^. de R et un point dont les coordonnées sont les composantes de . (Fig. 2.3). Le nuage des points A^ est centré à l'origine (propriété (2.25)).
Pour visualiser ce nuage de points, la méthode GAIA utilise l'analyse en composantes principales et construit une représentation bidimensionnelle en considérant les deux premiers axes principaux associés à ♦. Le mode de construction de ces axes est décrit brièvement. Pour une description plus complète de l'analyse en composante principale on peut consulter par exemple (Bertieret Bouroche, 1977).
1/
Le plan GAIA est détenniné par deux vecteurs unités u et v de IR . Dans un premier
temps, nous cherchons un vecteur u tel que les projections des vecteurs a. sur u soient optimales au sens des moindres carrés. Si nous notons P^. la projection de A^. (Fig. 2.4), la quantité (2.99) doit être minimisée, ce qui est équivalent à maximiser (2.100). Etant donné que
|0P^| = a!u, Té"problëme se réduit à la forme (2.101).
n 2
Min Z |A. P.| , i = l ’ ’
n 2
Max I |0PJ . i=l ’
(2.99)
(
2.
100)
r Max u' C u, avec u'u = 1,
(
2.
101)
ou c = 4'<i' (C/n est la matrice de variance-covariance des ((ij).
La fonction lagrangienne associée à ce problème est :
L(u,A) = u' C u - X(u'u - 1),
et la solution optimale est obtenue en résolvant le système suivant :
(
2.
102)
C u = X u, u'u = 1.
(2.103)
Le vecteur u est donc un vecteur propre unité associé à la plus grande valeur propre de C.
Si nous considérons maintenant les deux plus grandes valeurs propres de C, soient x^
et X2> et u et V des vecteurs propres unités associés respectivement â x^ et X2, on montre aisément que u et v sont orthogonaux et définissent un plan sur lequel les projections des vecteurs sont optimales au sens des moindres carrés : si nous notons P^. et Q. les projections de A^. sur u et v (Fig. 2.5), la quantité suivante est maximale :
n 2 n 2 n 2
r JOR-i = Z |0P.| + Z lOQ.I = X, + X2 i = l i = l ^ i = l ^ ^
(2.104)
______________________________________________________________
- Fig. 2.5 -
L'inertie totale du nuage des A^. autour de l'origine est définie de la façon suivante :
n 2 n P k
I-r = I |0A.| = I ||„||^ = trC= I X., (2.105)
' i = l ’ i = l ’ j=l ■J
oû les Xj, j = 1,..., k sont les valeurs propres de C. Le pourcentage 6 de 1^ expliqué par le plan (u,v) peut être calculé ; en tenant compte de la relation (2.104), il vient :
6
X^ + X2
n.--- (2.106)
6 fournit une mesure de la qualité de la représentation obtenue en projetant les points A- sur le plan (u,v).
B.Représentation des critères
Chaque critère f,. (j = 1... k) est représenté dans le plan (u,v) par la projection y,-
J k ^
du vecteur unité correspondant e^ de IR .
Le plan (u,v) a été déterminé de façon à maximiser la quantité suivante :
k k
U' C U + V' C V = Z C.. l|y.||2 + 2 Z Z C y' y , (2.107)
j = l p=l q?ip ^
oû : - C.. est n fois la variance de ((>.,
V J J
- est n fois la covariance entre et <b„. pq '^p '*'q
Cette dernière expression nous amène aux interprétations suivantes
aux grandes valeurs de C. . vont en général correspondre de grandes valeurs pour lly -lP :
V J w
la longueur du vecteur y. est donc représentative du pouvoir discriminant de f., plus f.
J «J w
