L.S.Marsa Elriadh
Série 3
M : Zribi
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èmeSc
Exercices
2010‐2011
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Exercice 1:
1) soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par : ( ) 1 sin 1 f x x
x
= + +
a) montrer que 0 f x( ) 2
≤ ≤ x .
b) en déduire lim ( )
x f x
→+∞
2) soit g la fonction définie par
1 sin
( ) 0
1
( ) 1 0
1
g x x si x
x
g x x si x
x
⎧ = + >
⎪ +
⎪⎨
⎪ = − <
⎪ −
⎩
montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et donner son prolongement.
Exercice 2:
Soit f la fonction définie sur IR par :
] [
[ [
( ) ² 2 sin( ) , 0
( ) 2 0,
1
f x x x x x
f x x si x
x
π
⎧ = + + ∈ −∞
⎪⎨ = + ∈ +∞
⎪ +
⎩
1) Calculer lim ( )
x f x
→+∞
2) a) Montrer que, pour tout x <0, x²-x+2 < f(x) < x²+x+2.
b) En déduire
0
lim ( ) lim ( )
x x
f x et f x
− →−∞
→
3) Montrer que f est continue en 0.
4) Soit g la restriction de f sur IR+ ; la courbe (C) ci-dessous est celle de g.
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On désigne par h la fonction définie sur IR+ par h(x)=g(x)-x.
a) En s’appuient sur la figure, montrer que h est strictement décroissante sur IR+.
b) Montrer que l’équation h(x)=0 admet dans IR+ une unique solution α et que
] [
1, 2α∈
c) En déduire le nombre d’intersection de la courbe (C) avec la droite D :y=x.
Exercice 3:
Soit f la fonction définie sur IR par :
] [
[ [
3 sin( )
( ) , 1
1
( ) ² 1 2 1,
x x
f x x
x
f x x x si x
π
⎧ = + ∈ −∞ −
⎪ +
⎨⎪ = + − ∈ − +∞
⎩
1) calculer lim ( )
x f x
→+∞
et
1
lim ( )
x − f x
→−
2) a) montrer que pour tout x<-1,
3 3
1 1
1 ( ) 1
x x
x f x x
+ ≤ ≤ −
+ + .
b) en déduire lim ( )
x f x
→−∞ .
3) la courbe (C) ci-dessous représente une fonction g définie sur IR.
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Soit h la fonction définie sur par h(x)=gof(x).
Déterminer
1
lim ( )
x
−h x
→− et lim ( )
x f x
→+∞
4) soit k la restriction de f sur
[
− +∞1,[
, le tableau suivant est celui des variations de k.x -1 +∞
f ’ -
f
a) compléter le tableau de variations.
b) montrer que l’équation k(x)=0 admet dans
[
− +∞1,[
une unique solution α et que α∈] [
0,1 .c) en déduire le signe de k(x) pour x dans
