L.S.Marsa Elriadh
Série 4
M : Zribi
4
èmeSc
Exercices1
09/10
Exercice 1 :
Calculer les limites suivantes :
2
1
4
1) lim 2 ² 3 1 3
² 3 2 2) lim
2 ² 6
3) lim 2
² 1
² 3 2 4) lim
1 5) lim 1
4
² 2 3 2 6) lim
3
x
x
x
x
x
x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x
x x
x
Exercice 2:
1) soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par : ( ) 1 sin 1 f x x
x
a) montrer que 0 f x( ) 2
x . b) en déduire lim ( )
x f x
2) soit g la fonction définie par
1 sin
( ) 0
1
( ) 1 0
1
g x x si x
x
g x x si x
x
montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et donner son prolongement.
Exercice 3:
Soit f la fonction définie sur IR par :
( ) ² 2 sin( ) , 0
( ) 2 0,
1
f x x x x x
f x x si x
x
1)
Calculer lim ( )x f x
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Exercices2
09/10 2)
a) Montrer que, pour tout x <0, x²-x+2 < f(x) < x²+x+2.b) En déduire
0
lim ( ) lim ( )
x f x et x f x
3) Montrer que f est continue en 0.
4) Soit g la restriction de f sur IR+ ; la courbe (C) ci-dessous est celle de g.
On désigne par h la fonction définie sur IR+ par h(x)=g(x)-x.
a) En s’appuient sur la figure, montrer que h est strictement décroissante sur IR+.
b) Montrer que l’équation h(x)=0 admet dans IR+ une unique solution et que
1, 2
c) En déduire le nombre d’intersection de la courbe (C) avec la droite D :y=x.
Exercice 4:
Soit f la fonction définie sur IR par :
3 sin( )
( ) , 1
1
( ) ² 1 2 1,
x x
f x x
x
f x x x si x
1) calculer lim ( )
x f x
et
1
lim ( )
x f x
2) a) montrer que pour tout x<-1,
3 3
1 1
1 ( ) 1
x x
x f x x
.
b) en déduire lim ( )
x f x
.
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Exercices3
09/10
3) la courbe (C) ci-dessous représente une fonction g définie sur IR.
Soit h la fonction définie sur par h(x)=gof(x).
Déterminer
1
lim ( )
x
h x
et lim ( )
x f x
4) soit k la restriction de f sur
1,
, le tableau suivant est celui des variations de k.x -1
f ’ -
f
a) compléter le tableau de variations.
b) montrer que l’équation k(x)=0 admet dans
1,
une unique solution et que
0,1 .c) en déduire le signe de k(x) pour x dans
