A379 – Joliment moyennés [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Deux entiers positifs distincts p et q (p < q) sont « joliment moyennés » si trois au moins de leurs moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique sont toutes des nombres entiers.
Q₁ Donner un exemple d’une paire d’entiers joliment moyennés tels que p < q < 50.
Q₂ Démontrer qu’il n’existe pas de paires d’entiers joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres entiers.
Q₃ Déterminer les familles de trois moyennes qui permettent d’obtenir des paires d’entiers joliment moyennés.En déduire toutes les paires d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 100.
Q₄ Déterminer une paire d’entiers joliment moyennés dont le plus petit terme p est lui seulement un multiple de 2019.
Solution proposée par Daniel Collignon
2A=p+q G^2=p*q 1/H=1/p+1/q Q^2=p^2+q^2
Q₁ : (p,q)=(10,40) fournit les 3 moyennes entières A=25, G=20 et H=8 Q₂ : nous allons montrer que si Q est entier alors G n'est pas entier
En effet, supposons Q entier, et utilisons le paramétrage classique d'un triplet pythagoricien
Il existe des entiers d>=1, u>v de parité opposée et PGCD(u,v)=1 tels que p*q=2d^2*uv(u^2-v^2) et Q=d(u^2+v^2) D'où G^2=2d^2*uv(u^2-v^2)
Naturellement PGCD(u,u^2-v^2)=PGCD(v,u^2-v^2)=1, de sorte qu'il existe des entiers x, y et z avec z^2=u^2-v^2 impair tels que :
u=2x^2 et v=y^2 impair, d'où z^2+(y^2)^2=(2x^2)^2 avec z et y impairs : impossible car dans une équation de la forme X^2+Y^2=Z^2 il est nécessaire d'avoir X ou Y pair, un carré n'étant jamais congru à 2 modulo 4.
Ou
u=x^2 impair et v=2y^2, d'où z^2+(2y^2)^2=(x^2)^2
Il existe des entiers m>n de parité opposée et PGCD(m,n)=1 tels que z=m^2-n^2, y^2=mn et x^2=m^2+n^2
Il existe des entiers s et t tels que m=s^2 et t^2, de sorte que s^4+t^4=x^2, équation classique dont on montre par descente infinie qu'elle n'admet pas de solution non triviale.
Dans les 2 cas il est donc impossible d'avoir G entier.
La proposition contraposée est alors G entier => Q non entier.
On ne peut donc avoir simultanément G et Q entiers.
Q₃
Cas A, G, H
H=pq/(p+q)=G^2/2A
G^2 étant divisible par 2, cela implique que p ou q est pair.
Comme p+q est pair, nous en déduisons que p et q sont pairs.
Soit d=PGCD(p,q), de sorte que p=dp' et q=dq' avec PGCD(p',q')=1.
Dans G^2 le produit p'q' est un carré parfait, et il existe des entiers e<f premiers entre eux tels que p'=e^2 et q'=f^2
A=d(e^2+f^2)/2 G=d*e*f
H=d*e^2f^2/(e^2+f^2)
Il existe alors un entier g tel que d=g(e^2+f^2)
Récapitulons p=g*e^2*(e^2+f^2) q=g*f^2*(e^2+f^2) A=g(e^2+f^2)^2/2 G=g(e^2+f^2)ef H=ge^2f^2
Avec e<f, PGCD(e,f)=1 et si e ou f est pair, alors g est pair
e f g p q A G H
1 2 2 10 40 25 20 8
1 3 1 10 90 50 30 9
1 2 4 20 80 50 40 16
Cas A, H, Q
En repartant du paramétrage au début de la démonstration de Q2, nous avons p+q=d(2uv+u^2-v^2) et p*q=2d^2*uv(u^2-v^2), de sorte que A=d(2uv+u^2-v^2)/2
Q=d(u^2+v^2)
H=2duv(u^2-v^2)/(2uv+u^2-v^2)
Il existe alors un entier g pair tel que d=g(2uv+u^2-v^2) Récapitulons
{p,q}={2guv(2uv+u^2-v^2), g(2uv+u^2-v^2)(u^2-v^2)}
A=g(2uv+u^2-v^2)^2 H=2guv(u^2-v^2)
Q=g(2uv+u^2-v^2)(u^2+v^2)
Avec g pair, u>v de parité opposée et PGCD(u,v)=1
u v g p q A H Q
2 1 2 42 56 49 24 70
Q₄
(p,q) = (922598202,103482708680)
u v g q p A H Q
338 335 2 103 482 708 680 922 598 202 52 202 653 441 914 445 480 103 486 821 302
