E544. Passage au vert
Les nombres de 1 à 2010 peuvent prendre la couleur rouge ou verte. Ils sont à l’origine tous rouges. Quand je choisis l’un d’eux, je change sa couleur ainsi que celle de tous les entiers qui ont un diviseur commun avec lui strictement plus grand que 1. Est-il possible de faire passer au vert tous les nombres ?
Solution proposée par Paul Voyer:
Remarques préliminaires :
Il revient au même de prendre 2 ou 4 ou 8 etc., on négligera donc les puissances de tout facteur premier, qui auraient rigoureusement le même effet que la puissance 1.
Tout nombre pourra donc être décrit, de ce point de vue, par son équivalent réduit, où ses facteurs premiers seront considérés à la seule puissance 1.
Par exemple, 12=2²x3 sera représenté par 2x3=6.
Le nombre 1 sera pris une fois.
Pour passer au vert la couleur d'un nombre rouge N=ambncpdq (a, b, c, d premiers distincts ou valant 1, m, n, p, q entiers positifs quelconques), sans changer celle des nombres 1 à N-1 supposés verts, il suffit d'inverser la sélection (état pris/non pris) de la valeur réduite abcd et celle de tous ses diviseurs :
Cette description couvre tous les nombres de 1 à 2309, le plus petit nombre ayant 5 facteurs premiers distincts étant 2*3*5*7*11=2310. Le raisonnement serait cependant identique au- delà.
1- Si b=c=d=1, N est une puissance d'un nombre premier a.
Si c'est un nouveau nombre premier, on le sélectionne, sinon, il est déjà vert en tant que nombre a < N-1.
2- Si c=d=1, N a 2 diviseurs premiers distincts, a et b.
Il suffit d'inverser la sélection de N=ab et de ses diviseurs a et b.
3- Si d=1, N a 3 diviseurs premiers distincts a, b, c.
Il suffit d'inverser la sélection de N=abc et de ses diviseurs a, b, c, ab, ac, bc.
4- Sinon, N a 4 diviseurs premiers distincts a, b, c, d.
Il suffit d'inverser la sélection de N=abcd et de ses diviseurs a, b, c, d, ab, ac, ad, bc, bd, cd, abc, abd, acd, bcd.
Dans tous les cas, N change seul de couleur, les nombres de 1 à N-1 restent inchangés (tous verts).
En effet, tout nombre X ≤ N-1 est :
- soit premier avec N, auquel cas il n'est pas concerné par les inversions de sélection proposées et reste vert,
- soit divisible par au moins un facteur premier commun avec N, mettons a.
L'effet sur X de l'inversion de sélection du nombre a est annihilée par 1, 3 ou 7 autres inversions selon le cas, soit ab, ab+ac+abc, ab+ac+ad+abc+abd+acd+abcd, le nombre total d'inversions étant une puissance de 2 (le nombre d'autres facteurs premiers de N), donc pair.
X reste donc vert.
Partant du tableau supposé déjà convertible au vert des N premiers nombres, on sait donc passer au vert le tableau N+1.
La possibilité de passage au vert de tous les nombres étant vraie pour N=1, elle est vraie pour 2, 3, …, N quelconque.
En particulier elle est vraie pour N=2010.
Cette méthode ne permet pas de déterminer simplement une liste des nombres à sélectionner pour une valeur donnée de N.
