Deux entiers positifs distincts p et q (p < q) sont « joliment moyennés » si trois au moins de leurs moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique sont toutes des nombres entiers.
Q₁ Donner un exemple d’une paire d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 50.
Q₂ Démontrer qu’il n’existe pas de paires d’entiers joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres entiers.
Q₃ Déterminer les familles de trois moyennes qui permettent d’obtenir des paires d’entiers joliment moyennés. En déduire toutes les paires d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 100.
Q₄ Déterminer une paire d’entiers joliment moyennés dont le plus petit terme p est lui seulement un multiple de 2019.
Q1 : 10 et 40 ont pour moyenne arithmétique 25, pour moyenne géométrique 20 et pour moyenne harmonique 16.
Q2 : Les moyennes arithmétiques m=(p+q)/2 et harmoniques h=2pq/(p+q) sont toujours rationnelles, tandis que les moyennes géométriques g=√pq et quadratiques k=√((p2+q2)/2) sont, a priori, algébriques.
Posons p=m-d, q=m+d : nous avons alors d2=m2-g2
Par ailleurs, 4m2=(p+q)2=p2+q2+2pq=2(k2+g2), soit k2-m2=m2-g2=d2.
La progression arithmétique de carrés g2, m2, k2 aurait un carré pour raison, ce qui est contraire au théorème de Fermat sur les triangles rectangles : g et k ne peuvent être entiers tous les deux.
Q3 : Nous avons donc deux possibilités :
1) m, h et g entiers : m2=g2+d2 et h=g2/m : le triplet g, d, m est pythagoricien : A partir d’un triplet primitif a2+b2=c2, il faut prendre g=ac, d=bc, m=c2 pour obtenir h=a2 entier : alors p=c(c-b), q=c(c+b) ; il en est de même de tout multiple, et des solutions obtenues en intervertissant a et b.
2) m, h et k entiers : k2=m2 +d2 et h=(m2-d2)/m : le triplet d, m, k est pythagoricien : ici encore, partant du triplet primitif (a< b< c), il faut prendre m=b2, d=ab, k=bc pour que h=b2-a2 soit entier : alors p=a(b-a), q=a(a+b) et leurs multiples.
A partir du triplet (3, 4, 5) on obtient
- dans le premier cas (p, q)=(5, 45) ou (10, 40) et leurs multiples (10, 90) et (20, 80) - dans le second cas, (p,q)=(4, 28) et ses multiples (8, 56) et (12, 84)
Tout autre triplet primitif donne m>100.
Q4 : Soit le triplet primitif (8, 15, 17) : il engendre p=17*(17-8)=153 et
q=17(17+8)=425 qui donnent les valeurs m=172 =289, g=17*15=255, h=152=225.
Puisque p, et non q, est divisible par 3, 673p, et non 673q, sera divisible par 2019 : la paire p=102969 et q=286025 répond à la question.
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