A379. Joliment moyenn´ es
Relations :
Moyenne arithm´etique Ma= p+q
2 p≤Mh ≤Mg ≤Ma≤Mq ≤q Moyenne g´eom´etrique Mg =√
pq Moyenne harmonique Mh= 2pq
p+q Mg2=MaMh
Moyenne quadratique Mq = s
p2+q2
2 Mq2=Ma2+ (Ma−p)2 Sipet qsont joliment moyenn´es,kpetkq (kentier> 1) le sont aussi pour le mˆeme ensemble de moyennes. La r´eciproque n’est vraie que sip,q et Mh ont un facteur commun.
Q2/Mq est entier siMaest entier et forme avec(Ma−p)etMq un triangle pythagoricien suivant les formules g´en´erales :
Ma= 2uv (u > v),uetv premiers entre eux Ma−p=u2−v2
Mq =u2+v2
(n.b. : on ne s’occupe pas ici de savoir siMh est entier ou non)
uetv´etant premiers entre eux,MaetMa−ple sont aussi, `a l’exception d’un facteur commun2siuetvsont impairs. Doncpetqsont aussi premiers entre eux et ne sont pas des carr´es parfaits :
⇒ Mg ne peut pas ˆetre entier en mˆeme temps queMq. Q1/ Exemple avecMq entier
On part du triplet (3, 4, 5) bien connu g´en´er´e paru= 2etv = 1:
ma= 4, ma−p1 = 3,mq = 5, doncp1= 1,q1= 7,m2g = 7etmh= 7 4 Pour que Mh soit entier, il faut introduire le facteur k = 4 (le nombre in- term´ediaire du triplet), d’o`u :
p= 4, q= 28, Ma= 16, Mh= 7, Mq = 20
Exemple avecMg entier
On part de p1 = 32 et q1 = 52, d’o`u ma = 17, mg = 3× 5 = 15 et mh= 225
17 (p1 etq1 doivent avoir la mˆeme parit´e)
Pour queMh soit entier, il faut introduire le coefficientk= 17, d’o`u : p= 153, q= 425, Ma= 289, Mg = 255, Mh= 225
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Q3/ Liste avecMq entier
Les 7 premiers triplets pythagoriciens (a,b,c) class´es dans l’ordre du plus grand des 3 nombres donnent les valeurs suivantes depetq :
a b c p q Ma Mq Mh
3 4 5 4 28 16 20 7
5 12 13 84 204 144 156 119
8 15 17 105 345 225 255 161
7 24 25 408 744 576 600 527
20 21 29 21 861 441 609 41
12 35 37 805 1645 1225 1295 1081 9 40 41 1240 1960 1600 1640 1519
Seul le premier triplet g´en`ere des solutionsp < q≤100avec les facteurskde 2`a5.
Liste avecMg entier
p1 q1 k p q Ma Mg Mh
1 32 5 5 45 25 15 9
1 22 10 10 40 25 20 16 1 52 13 13 325 169 65 25 1 72 25 25 1225 625 175 49 21 25 17 34 544 289 136 64 23 2 32 13 104 234 169 156 144 32 52 17 153 425 289 255 225
Seul les 2 premiers couples g´en`erent chacun une 2`eme solution p < q ≤ 100 avec le facteurk= 2.
Q4/ 2.019 = 3×673, donc on part d’une solution primitive avecp1multiple de3`a laquelle on applique le facteurk= 673.
Dans la liste des solutions avec Mq entier, on trouve des solutions o`u p1 est multiple de 3, maisq1 l’est aussi (`a cause du facteurk). Il faut donc prendre comme point de d´epart la 7`eme solution de la liste avecMg entier :
p1= 153, q1 = 425, ma= 289, mg = 255, mh = 225
ce qui donne
p= 51×2.019 = 102.969, q= 286.025, Ma= 194.497, Mg = 171.615, Mq = 151.425
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