Diophante A 379 Joliment moyennés
Deux enters positfs distncts p et q (p < q) sont « joliment moyennés » si trois au moins de leurs moyennes arithmétque, géométrique,harmonique et quadratque sont toutes des nombres enters.
Q1 Donner un exemple d’une paire d’enters joliment moyennés tels que p < q ≤ 50.
Q2 Démontrer qu’il n’existe pas de paires d’enters joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres enters.
Q3 Déterminer les familles de trois moyennes qui permetent d’obtenir des paires d’enters joliment moyennés.En déduire toutes les paires d’enters joliment moyennés tels que p < q ≤ 100.
Q4 Déterminer une paire d’enters joliment moyennés dont le plus pett terme p est lui seulement un multple de 2019.
Soient p < H = 2pq/(p + q) ≤ G = √(pq) ≤ A = (p + q)/2 ≤ Q = √{(p2 + q2)/2} < q les moyennes.
Q1 La paire (4 , 28) convient car H = 7, A = 16 et Q = 20 (mais G = 4√7).
La paire (5 , 45) convient également car H = 9, G = 15 et A = 25 (mais Q = 5√41).
Q2 En multpliant simultanément p et q par 2(p + q), H et A deviennent entères si elles ne l'étaient pas déjà. G et Q peuvent-elles être toutes deux entères ? Comme G est entère, en ne considérant que les solutons primitves (on divise p et q par leur PGCD afn qu'ils soient premiers entre eux), p = u2 et q = v2 où u < v. L'équaton diophantenne u4 + v4 = 2Q2 a pour seule soluton u = v = Q = 1. D'où p = q = 1 alors que p < q.
Il n’existe pas de paires d’enters joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres enters.
Q3 La première famille est obtenue avec H, G et A entères. Pour G, en reconsidérant les solutons primitves, p = u2 et q = v2 où u < v. Pour H, il faut multplier p et q par (u2 + v2)/2.
D'où les solutons (I) p = ku2(u2 + v2)/2 et q = kv2(u2 + v2)/2 où k est multple de 4 lorsque u et v sont de parités diférentes.
Les autres familles sont obtenues avec H, A et Q entères. Pour Q, (q + p)2 + (q – p)2 = (2Q)2. En utlisant la formule générique des triplets pythagoriciens, p = εk{(v2 – u2)/2 – vu} et q = k{vu + (v2 – u2)/2} où v et u sont premiers entre eux et où ε = ± 1. Pour H, il faut multplier p et q par vu lorsque ε = – 1 et par (v2 – u2) lorsque ε = + 1. D'où les solutons
(IIa) p = 2kvu{2uv – (v2 – u2)} et q = 2vu{2vu + (v2 – u2)} où 1 < v/u < (√2 + 1)
et (IIb) p = k(v2 – u2){(v2 – u2) – 2vu} et q = k(v2 – u2){(v2 – u2) + 2vu} où (√2 + 1) < v/u
Jusqu'à 100, les six paires d'enters joliment moyennés sont (4, 28), (5, 45), (8, 56), (10, 40), (10, 90) et (20, 80).
Q4 2019 = 3 x (122 + 232).
Une paire d’enters joliment moyennés dont le plus pett terme p est lui seulement un multple de 2019 est obtenue, par exemple, dans la famille (I) avec k = 4, u = 12 et v = 23 : (193 824, 712 034). H = 304 704, G = 371 496 et A = 452 929.
Jean-Louis Legrand
