A379. Joliment moyennés ***
Deux entiers positifs distinctspetq(p<q) sont « joliment moyennés » si trois au moins de leurs moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique sont toutes des nombres entiers.
Q1 Donner un exemple d’une paire d’entiers joliment moyennés tels quep<q650.
Q2 Démontrer qu’il n’existe pas de paires d’entiers joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres entiers.
Q3 Déterminer les familles de trois moyennes qui permettent d’obtenir des paires d’entiers joliment moyennés. En déduire toutes les paires d’entiers joliment moyennés tels quep<q6100.
Q4 Déterminer une paire d’entiers joliment moyennés dont le plus petit terme pest lui seulement un multiple de 2019.
Solution de Claude Felloneau
Q1 La paire (4,28) est une paire d’entiers joliment moyennés.
En effet,
la moyenne arithmétique estA=p+q 2 =16, la moyenne harmonique estH= 2p q
p+q =2×4×28 32 =7, la moyenne quadratique estQ=
s p2+q2
2 =
s
42+282
2 =4
s 1+72
2 =20.
Q2 Il n’existe pas de paire d’entiers distincts dont les quatre moyennes sont toutes des nombres entiers, plus précisément, il n’existe pas de paire d’entiers distincts dont la moyenne géométrique et la moyenne quadratique sont des nombres entiers
Remarque : on utilisera sans démonstration la caractérisation ci-dessous des triplets pythagoriciens.
Des entiers strictement positifsx,y,zvérifient l’équationx2+y2=z2si et seulement si
x=2uvd y=¡
u2−v2¢ d z=¡
u2+v2¢ d
ou
x=¡
u2−v2¢ d y=2uvd z=¡
u2+v2¢ d
oùd,uetvsont des entiers strictement positifs tels queu>vetuetvsont premiers entre eux et de parités différentes.
On noteraP l’ensemble des couples (u,v) vérifiant ces conditions.
S’il existe deux entiers naturels non nulspetqtels quep<qtels queG=p
pqetQ= s
p2+q2
2 sont des nombres entiers, en multipliant au besoin ces entiers par 2, les moyennes géométrique et quadratique sont multipliées par 2 donc sont entières. On peut donc supposer quepetqsont pairs.
A=p+q
2 est alors un entier ainsi quer=q−p
2 et on a
p=A−r, q=A+r, A2−r2=G2 et A2+r2=Q2.
AinsiA∈EoùEest l’ensemble des entiers naturels strictement positifsxpour lesquels il existe un entier naturelystrictement inférieur àxtel quex2+y2etx2−y2sont des carrés parfaits.
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Eest donc non vide et admet un plus petit élément que l’on notex. Il existe trois entiers naturelsy,z,t tels que,
0<y<x, x2+y2=z2 et x2−y2=t2. Sidest le PGCD dexetyalorsd2divisez2ett2doncddivisezett.
On en déduit que (x/d)2+(y/d)2=(z/d)2et (x/d)2−(y/d)2=(t/d)2doncx/d∈E.
Par définition dex, on ax/d>xd’oùd61. Ainsid=1 doncxetysont premiers entre eux.
Sidest un diviseur commun àxetz,d2divisey2doncddiviseyet comme PGCD(x,y)=1,d=1. Ainsi, xetzsont premiers entre eux. Il en de même deyetz, dexettou deyett.
On ax4−y4=¡
x2−y2¢ ¡
x2+y2¢
=z2t2donc¡
zt,y2,x2¢
est un triplet pythagoricien primitif carzt,y2et x2sont premiers entre eux deux à deux puisquexetysont premiers aveczet avect.
Il existe donc (m,n)∈P tel que
(1)
zt=2mn y2=m2−n2 x2=m2+n2
ou (2)
zt=m2−n2 y2=2mn x2=m2+n2 (1) donnet2=x2−y2=2n2ce qui est impossible puisquep
2 n’est pas rationnel.
(2) implique que (m,n,x) est un triplet pythagoricien primitif donc il existe (u,v)∈P tel que
(3)
m=2uv n=u2−v2 x=u2+v2
ou (4)
m=u2−v2 n=2uv x=u2+v2 Dans les deux cas, on ay2=4uv(u−v)(u+v).
Commeuetvsont premiers entre eux et de parités différentes,u,v,u−vetu+v sont premiers entre eux deux à deux. Leur produit étant un carré parfait, chacun d’eux est un carré parfait. Ainsix0=p
uest un entier qui appartient àE.
Or 0<x0=p
u<u2+v2=x. C’est donc impossible par définition dex.
Q3 Il y a deux familles de moyennes pouvant donner des entiers joliment moyennés.
• La familleAHG: les moyennes arithmétique, harmonique et géométrique sont des entiers.
Les paires d’entiers joliment moyennés associées à cette famille sont : p=2v2¡
u2+v2¢
et q=2u2¡
u2+v2¢
avec a∈N∗et (u,v)∈P p=a¡
u2+v2¡
u−v)2 et q=a¡
u2+v2¢
(u+v)2 avec a∈N∗et (u,v)∈P
• La familleAHQ: les moyennes arithmétique, harmonique et quadratique sont des entiers.
Les paires d’entiers joliment moyennés associées à cette famille sont : p=2uv a¡
2uv−u2+v2¢
et q=2uv a¡
2uv+u2−v2¢
avec a∈N∗et (u,v)∈P etu<³ 1+p
2´ v p=a¡
u2−v2¢ ¡
u2−v2−2uv¢
et q=a¡
u2−v2¢ ¡
u2−v2+2uv¢
avec a∈N∗et (u,v)∈P etu>³ 1+p
2´ v Il y a exactement 7 paires d’entiers joliment moyennés inférieurs à 100 :
(4,28), (5,45), (8,56), (10,40), (1,90), (12,84), (20,80)
Démonstration :
D’aprèsQ2, les deux autres familles ne conviennent pas.
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• Recherche des paires d’entiers joliment moyennés associées à la familleAHG.
Soientpetqdeux entiers naturels non nuls tels quep<q etA=p+q
2 ,H= 2pq
p+q etG=ppqsont des entiers.
Aétant entier,petqsont de même parité doncr=q−p
2 est un entier et on a 0<r<A, p=A−r, q=A+r, AH=G2 et G2+r2=A2. CommeG2+r2=A2, il existed∈N∗et (u,v)∈P tels que
(1)
G=2uvd r=¡
u2−v2¢ d A=¡
u2+v2¢ d
ou (2)
G=¡
u2−v2¢ d r=2uvd A=¡
u2+v2¢ d G2=AHdonne 4u2v2d=(u2+v2)Hdans le cas (1) et¡
u2−v2¢2
d=(u2+v2)Hdans le cas (2).
Commeu2+v2est premier avec 4,u,vetu2−v2,u2+v2divised. Il existe un entier naturel non nulatel qued=(u2+v2)a.
Dans le cas (1),A=¡
u2+v2¢2
aetr=¡
u2−v2¢ ¡
u2+v2¢ adonc p=2v2¡
u2+v2¢
et q=2u2¡
u2+v2¢
On vérifie facilement que les entiers ainsi définis sont strictement positifs et joliment moyennés.
- La conditionq6100 donne 2u2¡
u2+v2¢
6100 d’oùu=2 etv=1 caruetvsont de parités différentes etu>v. Ainsip=10aetq=40aavec 16a62, ce qui donne deux paires (10, 40) et (20, 80).
Dans le cas (2),A=¡
u2+v2¢2
aetr=2uv¡
u2+v2¢ adonc p=a¡
u2+v2¢
(u−v)2 et q=a¡
u2+v2¢
(u+v)2
On vérifie facilement que les entiers ainsi définis sont strictement positifs et joliment moyennés.
- La conditionq6100 donne¡u2+v2¢
(u+v)26100 d’oùu=2 etv=1 caru etvsont de parités diffé- rentes etu>v. Ainsip=5aetq=45aavec 16a62. Ce qui donne deux paires (5,45) et (10,90).
• Recherche des paires d’entiers joliment moyennés associées à la familleAHQ.
Avec les mêmes notations que précédemment, on a :
0<r<A, p=A−r, q=A+r, A(2A−H)=Q2 et A2+r2=Q2. CommeA2+r2=Q2, il existed∈N∗et (u,v)∈P tels que
(3)
A=2uvd r=¡
u2−v2¢ d Q=¡
u2+v2¢ d
ou (4)
A=¡
u2−v2¢ d r=2uvd Q=¡
u2+v2¢ d Dans le cas (3),Q2=A(2A−H) donne¡
u2+v2¢2
d=2uv(2A−H).
Or 2,uetvsont premiers avecu2+v2, donc 2uvdivisedet il existe un entier naturel non nula tel que d=2uv a.
On a alorsA=4u2v2aetr=2uv¡
u2−v2¢ adonc p=2uv a¡
2uv−u2+v2¢
et q=2uv a¡
2uv+u2−v2¢
On vérifie que les entiers ainsi définis sont strictement positifs si et seulement si 2uv−u2+v2>0 soit u<¡
1+p 2¢
vet sont joliment moyennés.
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- La conditionq6100 donneuv¡2uv+u2−v2¢
<50, ce qui donnev=1 etu=2 caruetvsont de parités différentes. On obtientp=4aetq=28a. Ce qui donne 3 paires possibles : (4,28) ; (8,56) ; (12,84).
Dans le cas (4),Q2=A(2A−H) donne¡
u2+v2¢2
d=¡
u2−v2¢
(2A−H) .
Oru2−v2est premier avecu2+v2, doncu2−v2divised et il existe un entier naturel non nulatel que d=¡
u2−v2¢ a.
On a alorsA=¡
u2−v2¢2
aetr=2uv¡
u2−v2¢ adonc p=a¡
u2−v2¢ ¡
u2−v2−2uv¢
et q=a¡
u2−v2¢ ¡
u2−v2+2uv¢
On vérifie facilement que les entiers ainsi définis sont strictement positifs si et seulement siu>¡ 1+p
2¢ v et sont joliment moyennés.
Commeu>¡ 1+p
2¢
v,u2−v2>2¡ 1+p
2¢
v2et 2uv>2¡ 1+p
2¢
v2doncq>2¡ 1+p
2¢ v2×4¡
1+p 2¢
v2>
8¡ 3+2p
2¢
v4>40v4
- La conditionq6100 donnev463 doncv=1. Oru>1+p
2 etuest pair doncu>4 doncq>152>100.
Dans ce cas, il n’y a pas de solutions inférieure à 100. Finalement aucun couple (u,v) ne convient.
Q4 Les entiersp=3 442 395=1705×3×2019 etq=13 999 755=1705×2737×3 sont joliment moyennés (familleAHQ),pest un multiple de 2019 etqn’en est pas un.
Pour trouver une telle paire, on peut chercherpetqsous la forme p=¡
u2−v2¢ ¡
u2−v2−2uv¢
a et q=¡
u2−v2¢ ¡
u2−v2+2uv¢ a oùa∈N∗et (u,v)∈P etu>¡
1+p 2¢
v.
L’équationu2−v2−2uv=673 s’écrit (u−v)2−2v2=673.
A l’aide d’un tableur, on trouve facilementvtels que 2v2+673 est un carré parfait.
On peut prendrev=12, on a alors 2v2+673=961=312.
En prenantu=v+31=43, on au2−v2−2uv=673 etu2−v2=1705=5×11×31 est premier avec 673.
u2−v2+2uv=2737=4×673+45 doncu2−v2+2uvn’est pas divisible par 673.
uetvsont premiers entre eux et de parités différentes donc (u,v)∈P. De plus,u>3v>¡ 1+p
2¢ v.
On prenda=3. Ainsipest un multiple de 3×673=2019 etqn’en est pas un. On a alorsp=1705×673×3 etq=1705×2737×3.
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