A379. Joliment moyennés
Deux entiers positifs distincts p et q (p < q) sont « joliment moyennés » si trois au moins de leurs moyennes arithmétique, géométrique,harmonique et quadratique sont toutes des nombres entiers.
Q1 Donner un exemple d’une paire d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 50.
Q2 Démontrer qu’il n’existe pas de paires d’entiers joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres entiers.
Q3 Déterminer les familles de trois moyennes qui permettent d’obtenir des paires d’entiers joliment moyennés. En déduire toutes les paires d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 100.
Q4 Déterminer une paire d’entiers joliment moyennés dont le plus petit terme p est lui seulement un multiple de 2019
Solution proposée par Gaston Parrour
Notations A = (p+q)/2 A moyenne Arithmétique 1/H = 1/p + 1/q H moyenne harmonique G = sqrt (pq) G moyenne géométrique Q= sqrt [(p²+q²)/2] Q moyenne quadratique
Q1 Un exemple d’une paire d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 50.
p et q entiers de même parité → A entier si pq est un carré parfait → G entier
→ le carré parfait, à un facteur 10² près, peut être 1 4 16 ..
Ainsi on ne peut retenir 100 car p < q → p = 4 q = 25 de parités différentes on peut retenir 400 avec p = 10 et q = 40
Alors avec ce choix a-t-on une troisième moyenne entière ? Avec H on a 1/H = 1/10 + 1/40 → H = 8 Donc par exemple
==> (p,q) = (10,40) → A = 25 G = 20 H = 8
Q2 Il n’existe pas de paires d’entiers joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres entiers.
Pour retenir A ==> p et q de même parité alors (p+q) pair → A entier Pour retenir H avec la condition précédente :
H = p.q/(p+q) p et q ne peuvent être impairs tous deux : (p+q) pair ne peut diviser pq impair
==> p et q pairs
Avec cela peut-on retenir à la fois G ET Q ?
Avec G = m entier et Q = n entier on a
m² = pq 2n² = p²+q² → (p+q)² = 2(m²+n²) soit (2m)² + (2n)² = 2 (p+q)²
Cette équation de Pell de la forme
x² – 2y² = - L avec (par exemple) x = 2m y = (p+q) et L = (2n)² (1) L'équation de Pell x0² – 2y0² = -1 (2) a pour solution générale (x0 et y0 positifs)
(x0 + y0√2) = (1+ √2)2r+1 r entier naturel
→ Les ''x0'' et ''y0'' (solution de (2)) sont ici toujours impairs Le passage de l'équation (2) à l'équation (1) se fait par le facteur L = (2n)² Donc x et y solutions de (1) sont
x = x0 x 2n y = y0 x 2n soit avec l'identification faite en (1) : m = x0 x n p+q = y0x2n
→ Ainsi m/n = x0 est entier impair donc aussi m²/n² = 2pq/(p²+q²) est entier impair si p et q impairs → (p²+q²) pair et pq impair
et puisque (p²+q²) ne divise pas 2 → impossible
si p et q pairs p = 2p1 q = 2q1
pq = 4p1p2 et (p²+q²) = 4((p1²+q1²) → m²/n² = 2p1q1/(p1²+q1²)
Alors si p1 et q1 pairs, on réitère avec p1 = 2p2 , … , pn-1 = 2pn q1 = 2q2 , … , qn-1 = 2qn Cela jusqu'à obtenir :
soit pn ET qn impairs → impossible (cf. ci-dessus)
soit l'un des deux (pn ou qn) impair allors → (pn² + qn²) impair ne divise pas 2
Donc dans tous ces cas il est impossible que m²/n² soit un entier impair
==> Dans tous les cas : p et q pairs p et q impairs p et q de parité opposée G et Q sont incompatibles
Q3 Les familles de trois moyennes qui permettent d’obtenir des paires d’entiers joliment moyennés.
En déduire toutes les paires d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 100 . Avec ce qui précède en Q2, les situations où trois moyennes entières sont possibles sont A → p et q de même parité
H → Condition nécessaire p et q pairs puis soit G soit Q
Cela conduit à p et q pairs ET famille 1 A H G
famille 2 A H Q
Pour que H entier : , avec H = pq/(p+q) il faut que (p+q) divise pq
soit r = (p,q) le PGCD de p et de q → p = rp1 q = rq1 avec alors (p1,q1) = 1 Avec ces notations
H = r p1q1/(p1+q1)
→ puisque (p1,q1) = 1 (p1+q1) ne divise pas p1q1 [car alors (p1+q1) diviserait soit p1, soit q1) ==> (p1+q1) divise r
N.B. Cela complète la condition nécessaire (p et q pairs) pour que H existe et soit un entier ==> Avec cela A et H sont des entiers
Alors pour
1 - famille 1 il faut de plus que G entier → pq carré parfait (avec p < q) les carrés parfaits C plus grands que 1 sont C = 4 9 16 25 …
Avec p < q
C = 4 → p0 = 1 q0 = 4 (seule possibilité de décomposition) les parités sont ici opposées
on a vu : H entier → (p0+q0) = 5 divise le PGCD r = (p,q) donc r = 5, 10, …, k5
A partir de (p0,q0) = (1,4) , on peut alors former des doublets (p,q) (pair,pair) en ne conservant ici que le PGCD r pair r = 10, 20 … ,
Alors pq devient le carré parfait r²C = 4r²
Avec de plus la condition p < q < 101 , on obtient deux doublets : (p,q) = (10,40) (20,80)
Et ainsi
(10,40) → A = 25 H = 8 G = 20 (20, 80) → A = 50 H = 16 G = 40
C = 9 → p0 = 1 q0 = 9 (seule possibilité de décomposition) les parités sont ici les mêmes H entier → (p0+q0) = 10 divise le PGCD r = (p,q)
donc r = 10, 20, … , k10
A partir de (p0,q0) = (1,9) on peut former des doublets (p,q) (pair,pair) avec ces PGCD ''r '' Alors pq devient le carré parfait r²C = 9r²
Avec p < q < 101 on obtient un doublet : (p,q) = (10,90) Et ainsi
(10,90) → A =50 H = 9 G = 30
C = 16 → p0 = 1 q0 = 16 (p0+q0) = 17 donc ''r'' = 17, 34, … refusé car q = 16.17 > 100 p0 = 2 q0 = 8 (p0+q0) = 10 donc r = 10, 20, … seul r = 10 peut être retenu ici avec r= 10 (p,q) = (20,80) → doublet déjà obtenu ci-dessus
N.B. On vérifie directement que les carrés C suivants C = 25, 36, 49, … conduisent à des valeurs de q > 100 quelle que soit la décomposition possible en produit p0q0 (p0 < q0) du carré C considéré.
Conclusion pour famille 1 Avec p < q < 101
==> trois doublets (p,q) → (10,40) (20,80) (10,90) vérifient A H et G moyennes entières
2 - famille 2 il faut ici Q entier → (p²+q²)/2 est carré parfait (avec p < q) Cela revient par exemple à envisager la suite des carrés parfaits C
Ici on peut procéder par ''balayage'' :
A partir de (p²+q²) = 2C balayer en p² (pour 0 < p² < 2Q)
et vérifier si (2C – p²) est un candidat q² (avec q < 101) Le premier couple candidat est ainsi avec 2xC = 2x25 (p0²,q0²) = (1,49) soit (p0,q0) = (1,7) Pour que H soit entier il faut que p et q soient pairs et que (p0+q0) = 8 divise ''r'' leur PGCD donc r = 8, 16, …
Avec r = 8 → (rp0, rq0) = (8,56) qui constitue un doublet (p,q) acceptable pour que H soit entier (dès r = 16 rq0 > 100)
N.B. Le prochain couple candidat (13 = 4k+1) est pour 2xC = 2x169 = 338 = 7²+17² → (p0,q0) = (7,17) Pour que H soit entier il faut que r le PGCD de p et q, soit multiple de (p0+q0) = 24
Dans ce cas, le premier q résultant pour le doublet (p,q) est q = rq0 > 100 Conclusion pour famille 2
Avec p < q < 101
==> un seul doublet (p,q) → (8,56) vérifie A H et Q moyennes entières Conclusion pour Q3 : pour p < q < 101
==> 4 doublets (p,q) → (10,40) (20,80) (10,90) (8,56) constituent des paires joliment moyennées Q4 Une paire d’entiers joliment moyennés dont le plus petit terme p est lui seulement un multiple de 2019
Ici la forme de l'entier p est a priori p = m,2019 où m est un entier
Un nombre entier q constitue avec p un doublet joliment moyenné si par exemple A H G sont entiers → Avec ce qui précède A et H entiers nécessitent p ET q pairs donc ici m est pair → m = 2m1 D'autre part H = pq/(p+q) → q = Hp/(p – H)
→ q est entier si (p – H) divise Hp Remarquons 2019 = 3.673 → p = m.3.673
Et le nombre premier 673 de la forme 4k+1 est décomposable en somme de deux carrés 673 = (12)² + (23)2 = a² + b²
Cela suggère de définir (p – H) tel que dans H = p – (p – H) , on a le facteur (673 – a²) = b² Avec cela on définit donc
(p – H) = m.3.(12)² alors on a bien H = m.3.(673 – a²) = m.3.(23)² (a) et
q = Hp/(p – H) = (m.3)².(23)².673/(m.3.(12)² ) = m.3.673.23²/(12)² → q est entier pour 3m/(12)² entier
avec m0 = 3.4² on obtient q entier, mais alors q impair donc on choisit m = 2m0 = 2.3.4²
Dans ce cas → p = m.2019 p = 2.3².4².673 est pair
et q = 2.673.23² est pair de plus q n'est pas multiple de 2019 → Il reste à vérifier qu'alors pq constitue un carré parfait
pq = 2².3².4².673².23² → G est entier rationnel
ainsi que H = 2.3².4².(23)² et A ( moyenne arithmétique de deux entiers de même parité) Conclusion de Q4
Une paire d'entier joliment moyennés répondant aux conditions de l'énoncé est ==> (p,q) → ( 2.3².4².673 , 2.673.23²)
