A379 – Joliment moyennés [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Deux entiers positifs distincts p et q (p < q) sont « joliment moyennés » si trois au moins de leurs moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique sont toutes des nombres entiers.
Q₁ Donner un exemple d’une paire d’entiers joliment moyennés tels que p < q < 50.
Q₂ Démontrer qu’il n’existe pas de paires d’entiers joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres entiers.
Q₃ Déterminer les familles de trois moyennes qui permettent d’obtenir des paires d’entiers joliment moyennés.En déduire toutes les paires d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 100.
Q₄ Déterminer une paire d’entiers joliment moyennés dont le plus petit terme p est lui seulement un multiple de 2019.
Solution proposée par Bernard Vignes
On désigne par MA = moyenne arithmétique, MG = moyenne géométrique, MH = moyenne harmonique, MQ = moyenne quadratique.
On suppose connues :
1) les inégalités MH ≤ MG ≤ MA ≤ MQ 2) l’égalité MH = MG²/MA
Q₁ p = 5, q = 45, MA = 25, MG = 15, MH = 9
Q₂ Il est impossible d’avoir les quatre moyennes égales à des entiers.
On pose MA= (p + q)/2 MG² = pq
MH = 2pq/(p + q) = MG²/MA MQ² = (p² + q²)/2
Soit r le PGCD de p et de q.
Comme √pq est un entier, p/r et q/r étant relativement premiers, p et q sont nécessairement de la forme p = ru² et q = rv² et MG = ruv.
D’où 2MQ² = r²(u4+ v4) ou encore 2MQ²/r² = 2k² = u4+ v4 avec u et v de même parité.
Comme p et q sont distincts, la solution triviale u² = v² = k est à exclure . On pose a = (u² + v²)/2 et b = (v² – u²)/2 qui sont deux entiers naturels.
D’où u² = a – b et v² = a + b, 2k² = 2(a² + b²). Il en résulte a² + b² = k² et a² – b²= (uv)².
Or selon le théorème de Fermat *, il n’y a pas deux entiers tels que la somme et la différence de leurs carrés sont des carrés parfaits.
Conclusion : MG et MQ ne peuvent pas être en même temps des entiers.
* W.Sierpinski – Elementary theory of numbers – Chapter II Diophantine analysis p.52.
Q₃
D’après Q2 (MA,MG,MQ) et (MG,MH,MQ) sont impossibles car les moyennes MG et MQ figurent toutes deux parmi les trois moyennes. Il ne reste plus que deux familles (MA,MG,MH) et (MA,MH,MQ)
Première famille : (MA,MG,MH)
On a les trois équations p + q = 2a , pq = b² , 2pq/(p + q) = c avec a, b et c entiers qui obéissent à la relation b² = ac.
D’après Jonny Griffiths (Making averages whole), on obtient deux paramétrisations possibles de p et q.
1ère paramétrisation p = k(u² + v²)(v – u)² et q = k(u² + v²)(u + v)² avec k,u,v entiers ≥ 1, u < v.
On obtient MA = (p + q)/2 = k(u² + v²)², MH = 2pq/(p + q) = k(v² – u²)² et MG = k(u² + v²)(v² – u²)
exemple k = 1, u = 1, v = 2. p = 5, q = 45, MA = 25, MH = 9, MG = 15
2ème paramétrisation p = 2k(u² + v²)u² et q = 2k(u² + v²)v² avec k,u,v entiers ≥ 1, u < v.
On obtient MA = k(u² + v²)², MH = 2kuv et MG = 2kuv(u² + v²).
exemple k = 1, u = 1, v = 2. p = 10,q = 40, MA = 25, MH = 16, MG = 20 Deuxième famille : (MA,MH,MQ)
A partir de l’équation p² + q² = 2a² (1) , on déduit que p et q sont de même parité.Donc (p + q)/2 = MA est un entier. Les paramétrisations de p et de q qui satisfont (1) sont de la forme :
p = k’(u² + 2uv – v²) et q = k’(– u² + 2uv + v²) avec k’ ≥ 1 et v > u ≥ 1.
D’où MA = 2k’uv et MQ = k’(u² + v²).
Pour que MH = 2pq/(p + q) soit un entier, il suffit de prendre k’ = 2kuv, ce qui donne : p = 2kuv(u² + 2uv – v²) et q = 2kuv(– u² + 2uv + v²) avec k ≥ 1 et u > v ≥ 1.
Dès lors MA = 4ku²v², MH = k(4u²v² – (v² –u²))²) et MQ = 2kuv(u² + v²) exemple : k = 1, u = 1, v = 2, p =4, q = v 28, MA = 16, MH = 7 et MQ = 20 D’où le tableau des 7 paires d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 100.
Q₄
On retient la paramétrisation p = k(u² + v²)(v – u)² et q = k(u² + v²)(u + v)² de la famille MA,MG,MH de sorte que p et q soient multiples de 673 et p soit seul multiple de 3.
Il suffit de prendre k = 673, u = 1 et v = 4.
D’où p = 673*17*9 =102969 = 2019*51 et q = 673*17*25 = 286025 On obtient MA = 194497, MG = 171615 et MH = 151425.
