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A379 – Joliment moyennés

Deux entiers positifs distincts p et q (p < q) sont « joliment moyennés » si trois au moins de leurs moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique sont toutes des nombres entiers.

Q₁ Donner un exemple d’une paire d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 50.

Q₂ Démontrer qu’il n’existe pas de paires d’entiers joliment moyennés dont les quatre moyennes sont toutes des nombres entiers.

Q₃ Déterminer les familles de trois moyennes qui permettent d’obtenir des paires d’entiers joliment moyennés. En déduire toutes les paires d’entiers joliment moyennés tels que p < q ≤ 100.

Q₄ Déterminer une paire d’entiers joliment moyennés dont le plus petit terme p est lui seulement un multiple de 2019.

Solution proposée par Jacques Guitonneau

Le couple (10,40) fournit les moyennes suivantes : Arithmétique 25, Géométrique 20, et harmonique 16.

Pour avoir les 4 moyennes en nombres entiers, x1 et x2 doivent être de même parité. Et on a x1=p.y1 et x2=

p.y2 avec Y1 et y2 premiers entre eux et donc impairs.

Pour avoir la moyenne harmonique entière, on doit avoir 2.p.y1.y2/(y1+y2), ce qui n’est possible que si (y1+y2) divise 2.p

Pour que la moyenne géométrique soit un entier, il faut que les deux nombres y1 et y2 soient des carrés parfaits soit y1=z1² et y2=z2².

Pour que la moyenne quadratique de x1 et x2 soit un entier, il faudrait que p². (z1*4 + z2*4)/2 soit un carré parfait, soit z1*4 + z2*4 = 2.u², ce qui est impossible.

Donc on a seulement les familles de moyennes suivantes F1= Arithmétique + Quadratique + Harmonique et F2=Arithmétique +Géométrique + Harmonique.

Pour la famille F1, on a le couple primitif (y1,y2) égal à (1,7) qui donne une moyenne quadratique entière soit 5. Pour obtenir une moyenne harmonique entière , il faut prendre p égal à 4, soit le couple (4,28).

Pour la famille F2, on prend z1 =1 et z2=2 ou 3 soit y1=1 et y2=4 ou 9. Dans le premier cas en prenant les multiples par 10 et 20 pour satisfaire le caractère entier des moyennes arithmétiques et harmoniques, on obtient les couples (10,40) et (20,80) . Dans le deuxième cas, on obtient (10,90).

Pour la question Q4, on cherche un couple dont le plus petit terme seul est multiple de 2019. 2019 est égal à 3 . 673. Comme 2019 n’est pas de la forme p.y1² , et que le multiple de 2019 doit être le plus petit élément du couple recherché, on doit rechercher un nombre N supérieur à 673 tel que (673²+N²)/2 soit un carré parfait. (un nombre N tel que (3²+ N²)/2 soit un carré parfait serait nécessairement un multiple de 3 car (3² + N²)/2 si N n’est pas multiple de trois est égal à 2 (mod3) et ne peut donc être un carré parfait).

On trouve N= 1303. Pour obtenir une moyenne harmonique entière il faut donc prendre X1=

3.673.(673+1303)/2 et X2=3.1303.(673+1303)/2, soit X1= 1994772, X2= 3862092, pour les moyennes suivantes : Arithmétique : 2928432 ; Quadratique : 2630757 ; Harmonique : 3073668.