Q₁ Nous sommes trois entiers positifs distincts à sept chiffres communément appelés nombres de Niven (ou encore nombres Harshad) qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres (en base 10).
Nous avons les caractéristiques suivantes :
- chacun de nous est le premier terme d’une suite de cinq entiers consécutifs croissants qui sont eux aussi des nombres de Niven,
- nous avons la même somme de nos chiffres respectifs qui est un nombre premier et parmi les sommes des chiffres des quatre entiers qui nous suivent, on trouve deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Qui sommes nous ?
Q₂ Je suis un nombre de Niven à neuf chiffres. Les huit entiers qui me suivent ont la même propriété et parmi les sommes de leurs chiffres on trouve un nombre premier et deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2. Qui suis-je ?
Nous nous placerons dans le cas le plus simple où les sommes des chiffres des cinq nombres consécutifs sont k, k+1, k+2, k+3, k+4. Notons s(n) la somme des chiffres du nombre n.
Q1 : Chacun des nombres peut alors s’écrire N+k+i (0≤i≤4) où N est divisible par le PPCM de k, k+1, k+2, k+3, k+4.
La somme des chiffres d’un nombre de 7 chiffres est inférieure à 63 ; les seules puissances parfaites inférieures à 63 qui voisinent dans un intervalle de 5 sont 8 et 9 ( soit des sommes de chiffres trop faibles) ou 25 et 27, avec le nombre premier inférieur le plus proche égal à 23.
Soit m=PPCM(23, 24, 25, 26, 27)=1614600, s(m)=18, donc s(m+23)=s(m)+s(23)=23, etc... ; de même, 2m=3229200, s(2m)=18 et 5m=8073000, s(5m)=18 : les trois nombres cherchés sont donc 1614623, 3229223 et 8073023.
Q2 : De même, si n=PPCM(20, 21, ..., 27, 28)=124324200 ; s(n)=18, donc s(124324220)=20, etc... On retrouve bien dans la suite le nombre premier 23 et les puissances 25 et 27.
