A385. Têtes de séries ***
Q1 Nous sommes trois entiers positifs distincts à sept chiffres communément appelés nombres de Niven (ou encore nombres Harshad) qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres (en base 10).
Nous avons les caractéristiques suivantes :
- chacun de nous est le premier terme d’une suite de cinq entiers consécutifs croissants qui sont eux aussi des nombres de Niven, - nous avons la même somme de nos chiffres respectifs qui est un nombre premier et parmi les sommes des chiffres des quatre entiers qui nous suivent, on trouve deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Qui sommes-nous ?
Q2 Je suis un nombre de Niven à neuf chiffres. Les huit entiers qui me suivent ont la même propriété et parmi les sommes de leurs chiffres on trouve un nombre premier et deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Qui suis-je ?
PROPOSITION Th Eveilleau Q
1La somme maximale des chiffres est de 7*9=63. Les entiers premiers à considérer sont donc : 2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61.
Parmi ceux-ci, on ne va garder que ceux qui donnent une puissance parfaite parmi les quatre entiers qui lui sont consécutifs.
On ne gardera donc que :
23
suivi de24, 25=5², 26, 27 = 3
3.
Les trois nombres sont les suivants :
1 614 623
est un nombre de Niven avec la suite : 1 614 623 somme 23 entier premier1 614 624 somme 24 1 614 625 somme 25 = 5
²
1 614 626 somme 26 1 614 627 somme 27 = 333 229 223
est un nombre de Niven avec la suite : 3 229 223 somme 23 entier premier3 229 224 somme 24 3 229 225 somme 25 = 5
²
3 229 226 somme 26 3 229 227 somme 27 = 338 073 023
est un nombre de Niven avec la suite : 8 073 023 somme 23 entier premier8 073 024 somme 24 8 073 025 somme 25 = 5
²
8 073 026 somme 26 8 073 027 somme 27 = 33Q
2Il y a deux réponses : 124 324 220
et621 621 020
La somme maximale des chiffres est de 9*9=81. Les entiers premiers à considérer sont donc : 2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79
Les puissances à considérer sont donc : 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100.
Et les seules sommes possibles pour le premier terme sont en prenant exactement les résultats demandés dans la suite de huit entiers consécutifs avec un nombre premier et deux puissances parfaites.
19, 20, 31
124 324 220 ; 124 324 221 ; 124 324 222 ; 124 324 222 ; 124 324 224 ; 124 324 225 ; 124 324 226 ; 124 324 227 ; 124 324 228
Réponse : 124 324 220
la première somme est
20
et les suivantes vont de 21 à 28 avec-
le nombre premier29
- l
es deux seules puissances parfaites :25 = 5²,
puis27 = 3
3Autre réponse avec : 621 621 020
la première somme est
