A385. Têtes de séries MB
Q1 Nous sommes trois entiers positifs distincts à sept chiffres communément appelés nombres de Niven (ou encore nombres Harshad) qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres (en base 10).
Nous avons les caractéristiques suivantes :
- chacun de nous est le premier terme d’une suite de cinq entiers consécutifs croissants qui sont eux aussi des nombres de Niven,
- nous avons la même somme de nos chiffres respectifs qui est un nombre premier et parmi les sommes des chiffres des quatre entiers qui nous suivent, on trouve deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Qui sommes-nous ?
Q2 Je suis un nombre de Niven à neuf chiffres. Les huit entiers qui me suivent ont la même propriété et parmi les sommes de leurs chiffres on trouve un nombre premier et deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Qui suis-je?
Q1) Soit S(x) la somme des chiffres de l'entier x, on se limite aux cas où, pour i de zéro à 4, S(x+i)= S(x)+ i c'est à dire que le chiffre des unités de x ne dépasse pas 5.
S(x) doit être un nombre premier p tel que dans l'ensemble {p+1, p+2, p+3, p+4} on trouve deux puissances parfaites d'ordre ≥ 2 .
Si x a 7 chiffres, p ≤ 7*9, p ≤ 63 . Pour p = 23 l'ensemble {24, 25, 26, 27} contient 25 = 5² et 27 = 33. On va donc chercher des nombres x tels que x ≡ 0 mod 23, x ≡ – 1 mod 24, x ≡ – 2 mod 25, x ≡ – 3 mod 26, x ≡ – 4 mod 27.
23 est l'un de ces nombres. Le PPCM des diviseurs 23, 24, 25, 26, 27 est 1614600.
On cherche x parmi les nombres de la forme 23 + k* 1614600.
Il reste à savoir lesquels de ces nombres vérifient S(x) = 23 : en faisant varier k on trouve : k = 1 1614623, k = 2 3229223, k = 5 8073023 Ce sont les trois nombres cherchés.
Q2) Les 9 nombres consécutifs sont supposés se terminer par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 de sorte que la différence b – a des sommes b et a des chiffres de deux de ces nombres soit égale à la différence B – A de ces deux nombres.
La somme des chiffres d'un nombre de 9 chiffres ne dépasse pas 9*9 = 81.
Les puissances parfaites limitées par cette condition sont : 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81.
Soient B et A dont les sommes de chiffres sont b et a qui sont des puissances parfaites b – a ≤ 7.
Les couples (a, b) possibles sont (4, 8), (4, 9), (8, 9), (9, 16), (25, 27), (25, 32), (27, 32), (32, 36).
Dans [20, 28] il y a 2 puissances parfaites : 25 et 27, et un seul nombre premier : 23.
On va chercher des nombres x tel que
x ≡ 0 mod 20, x ≡ – 1 mod 21, x ≡ – 2 mod 22, x ≡ – 3 mod 23, x ≡ – 4 mod 24, x ≡ – 5 mod 25, x ≡ – 6 mod 26, x ≡ – 7 mod 27, x ≡ – 8 mod 28. 20 est l'un d'eux.
Le PPCM des diviseurs 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 est 8*27*25*7*11*13*23 = 124324200
Soit x = 20 + k*124324200, si x est ''de Niven'', les huit suivants le sont aussi .
Pour k de 1 à 8 les nombres 20 + k*124324200 ont 9 chiffres, mais ne sont pas tous des nombres de Niven Pour k = 1, x = 124324220, S(x) = 20 et S(x) divise x.
Pour k = 5, x = 621621020, S(x) = 20 et S(x) divise x.
La question Q2 admet deux réponses : 124324220 et 621621020 .
