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PanaMaths [2-4] Septembre 2011

Des représentations géométriques pour les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique.

Considérons des réels strictement positifs a et b.

Rappelons que l’on définit :

• La moyenne arithmétique m de a et b par : ¹ ( )

m = 2 a b + .

• La moyenne géométrique g de a et b par : g = ab .

• La moyenne harmonique h de a et b par : ^{1 1 1 1} 2

h a b

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ , soit : 2ab h = a b

+ . On considère alors la figure ci-dessous où :

• A et O sont deux points tels que : OA = a .

• B est tel que : O, A et B sont alignés, B n’appartient pas au segment [ ] ^{OA et OB = b .}

• Ω est le milieu du segment [ ] ^{AB .}

• C est le cercle de diamètre [ ] ^{AB .}

• C est un des points d’intersection du cercle C et de la perpendiculaire à la droite

( ) ^AB passant par O.

• H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OC Ω rectangle en O.

A

B O

Ω

C

H

C

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PanaMaths [3-4] Septembre 2011

Comme le point O appartient au segment [ ] ^AB , on a : AB = AO OB + = + a b . Comme le point Ω est le milieu du segment [ ] ^AB , il vient immédiatement :

A B

2 2

AB a b + Ω = Ω = =

On obtient ainsi la moyenne arithmétique de a et b.

A B

2

m = a b + = Ω = Ω

Le triangle ABC est inscrit dans le cercle C et le segment [ ] AB est un de ses diamètres. On en déduit immédiatement que le triangle ABC est rectangle en C.

D’après le préambule, on a alors : OC

= OA OB × = ab . D’où : OC = ab . On obtient ainsi la moyenne géométrique de a et b.

OC g = ab =

Le triangle Ω OC est rectangle en O. Comme le point H est le pied de la hauteur issue de O, on a, d’après le résultat préliminaire :

HO

= Ω× H HC

Le triangle OHC étant rectangle en H, le théorème de Pythagore nous donne :

2 2 2

HC + HO = OC Soit, en tenant compte de OC

= ab et HO

= Ω× H HC :

HC

+ Ω× H HC = ab Mais on a aussi : H HC C A

2 a b +

Ω + = Ω = Ω = . D’où : H HC 2

a b +

Ω = − , puis :

HC

HC HC HC

2 2

a b a b

ab = + × ⎛ ⎜ ⎝ + − ⎞ ⎟ ⎠ = × +

On en tire enfin : 1 1 1 1

HC 2 2

a b

ab a b

+ ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ .

On obtient ainsi la moyenne harmonique de a et b.

2 ab HC h = a b =

+

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PanaMaths [4-4] Septembre 2011

Comparaison des moyennes

Des considérations géométriques nous permettent facilement d’obtenir : HC ≤ OC ≤ Ω B , soit :

h ≤ ≤ g m

Retrouvons et complétons cette double inégalité par le calcul.

Les moyennes m et g étant strictement positives (a et b l’étant), on peut comparer leurs carrés :

( )

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 4 4 4

a b a ab b a ab b a b

m − g = ⎛ ⎜ ⎝ + ⎞ ⎟ ⎠ − ab = + + − ab = − + = −

Le résultat obtenu étant positif, on en déduit : m

≥ g

, puis m ≥ g .

On a, par ailleurs : 2

2 ab ab h = a b + = a b + , soit

g

h = m .

Comme m ≥ > g 0 , il vient : 1 1

0 < m ≤ g . D’où :

2

2 2

1 1

h g g g g

m m g

= = × ≤ × = .

On a bien : h ≤ ≤ g m .

Supposons maintenant que l’on ait : 0 < ≤ a b . On a :

( )

( )

2 ab 2 ab a a b ab a a b a

h a a

a b a b a b a b

− + − −

− = − = = =

+ + + +

Comme b ≥ a , on a h ≥ a . Par ailleurs :

2 2

a b b a b m − = − b + = − . Comme b ≥ a , on a b ≥ m .

En définitive :

( ) ( )

min a b , ≤ ≤ ≤ ≤ h g m max a b ,