+=+ = e ...2 pp

D619. Deux fois sur trois

On trace trois polygones réguliers, respectivement un pentadécagone (15 côtés), un heptadécagone (17 côtés) et un octadécagone (18 côtés). Deux sur trois peuvent être tracés avec une règle et un compas.

Lesquels ?

Nota : on ne demande pas le tracé des deux polygones.

On numérote les sommets de chaque polygone de 1 à n (n = 15,17 et 18) dans le sens trigonométrique et à l’intérieur de chacun d’eux on trace trois cordes dont les extrémités sont désignés par les numéros des sommets (a, b) à savoir (1, 6), (2, 8) et (3, 11) dans le pentadécagone, (1, 7), (3, 16) et (4, 17) dans l’heptadécagone et enfin (1, 8), (5, 14) et (6, 16) dans l’octadécagone. Les trois figures ci-après font croire que les trois cordes sont concourantes dans chacun des trois polygones.

Dans deux figures sur trois, c’est faux. Lesquelles ? Justifier la réponse.

Solution de Claude Felloneau

Le pentadécagone et l’heptadécagone sont constructibles mais l’octadécagone ne l’est pas.

Car les polygones réguliers constructibles sont ceux pour lesquels le nombre n de côtés se décompose en facteurs premiers sous la forme 2^α p₁...p_koù les pi sont des nombres premiers de Fermat distincts.

5 3

15= × produit de deux premiers de Fermat : 2 + 1 et 2² + 1.

17 = 2⁴ + 1 est un nombre premier de Fermat.

32

2

18= × n’a pas la forme requise.

C’est uniquement dans l’octadécagone que les diagonales sont concourantes.

Remarque : Plus généralement, trois diagonales d’un polygone régulier ayant un nombre impair de côtés ne sont jamais concourantes (d’après l’article de C. Morin et D. Roux sur les nœuds diagonaux dans Quadrature n°45, ce résultat a été démontré par Heineken en 1962). Cette propriété n’est donc pas liée à la constructibilité.

Soit le repère orthonormal direct

(

)

On note ⁿ

i

e ω= ²π,

La diagonale (u + 1, v + 1) a pour équation : ω^u+ω^v =z+zω^u+v

Le point d’intersection des diagonales (1, a + 1) et (b + 1, c + 1) est donc défini par le système :







+

= +

+

= +

+c b c

b

a a

z z

z z

ω ω

ω

ω ω

1

dont la solution s’écrit :

( )( )

(

)

1 −

− + −

= ^b _b+c−a ^c

z ωω ω _.

Les diagonales (1, a + 1), (b + 1, c + 1) et (b’ + 1, c’ + 1) sont donc concourantes si et seulement si :

( )( )

( ) ( )( )

(

)

1 1 1

−

−

= −

−

−

−

−

′ +

′

′

′

−

+ b c a

c b

a c b

c b

ω ω ω

ω ω ω

c’est-à-dire ^P(ω)=0 ^{où P(X)=}

(

)(

)(

) (

)(

)(

)

Cela équivaut à dire que P(X)est divisible par le polynôme cyclotomique Φ_n(X).

Dans chacun des cas, il suffit donc de calculer le polynôme cyclotomique Φ_n(X) puis le reste R(X) de la division euclidienne de P(X) par Φ_n(X).

Pour n = 15

1 1 1 )

( ) ) (

( )

( ₂ ^{8 7 5 4 3}

5 10

3 5 3 5

3

15 = − + − + − +

+ +

+

= + Φ

=Φ Φ

=

Φ _× X X X X X X

X X

X X X X X

X .

(a, b, c, b’, c’) = (5, 1, 7, 2, 10)

3 2 2

5 )

(X =−X⁷ −X⁶+ X⁵− X⁴−X² − X + R

Les diagonales ne sont pas concourantes Pour n = 17

∑

=

Φ ¹⁶

0 17( )

k

Xk

X .

(a, b, c, b’, c’) = (6, 2, 15, 3, 16)

X X X X X X X X X X X X

X X

R( )= ¹⁵+2 ¹⁴ +2 ¹³+ ¹²− ¹¹+2 ¹⁰ + ⁹ + ⁸+ ⁶+ ⁵+ ⁴+3 ²+ Les diagonales ne sont pas concourantes

Pour n = 18

1 1 1 )

( ) ) (

( )

( ^{6 3}

3 9 3 2

3 2 3

18 2

2

2 = − +

+

= + Φ

= Φ Φ

=

Φ _× X X

X X X X X

X

(a, b, c, b’, c’) = (7, 4, 13, 5, 15) 0

) (X = R

Les diagonales sont concourantes