L3 Math´ematiques Printemps 2016 Alg`ebre Lin´eaire
Examen du 4 mai 2016
Dur´ee 3h00. Aucun document ni calculatrice autoris´e Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme z´ero Exercice 1: Soit Ala matrice r´eelle
A=
0 1 1 1
0 0 0 1
0 0 0 −1
0 0 0 0
1. Calculer les polynˆomes caract´eristique et minimal de A.
2. D´eterminer la r´eduite de Jordan et une base de Jordan de A.
3. Donner une matrice de M4(R) avec les mˆemes polynˆomes caract´eristique et minimal queA, mais qui ne soit pas semblable `aA. Justifier.
Exercice 2: Soit Aune matrice r´eelle sym´etrique de taille n≥1 telle que A3 =A2+A−I.
1. Donner un polynˆome annulateur de A. En d´eduire le polynˆome minimal deA.
2. Montrer que l’inverse de Aest A.
Exercice 3: Soit (V,h , i) un espace vectoriel euclidien et W un sous-espace vectoriel non nul de V. On suppose aussi que W 6=V. Donc on rappelle que V =W ⊕W⊥.
Pour toutx∈V, on appelle la sym´etrie orthogonale par rapport `a W, l’endomorphisme s(x) =y−z o`ux=y+z avec y∈W etz∈W⊥.
1. En calculant hs(x), x0i et hx, s(x0)i, montrer que s est un endomorphisme auto-adjoint. Prouver que s est une isom´etrie aussi. En d´eduire que les seules valeurs propres de s sont 1 ou −1. D´eterminer son polynˆome minimal.
2. SiV =R3 muni du produit scalaire usuel etW le sous-espace des vecteurs (x1, x2, x3) tels que x1+x2+ x3= 0. Trouver une base orthonorm´ee de R3 des vecteurs propres des.
Exercice 4: Soit B= (e1, . . . , en) la base canonique deCn etf l’endomorphisme de Cn tel que f(ei) =ei+1 pour i= 1, . . . , n−1 etf(en) =e1
Autrement dit f(ei) =el o`ul=i+ 1 mod n. Notons f0= idCn et pour k≥1 fk=fk−1◦f. 1. D´eterminer fk(ei) pour k= 1, . . . , net pour tout i= 1, . . . , n.
2. Soit C ∈ Mn(C) la matrice de f dans la base B. Ecrire C et calculer Cn. En d´eduire que C est diagonalisable.
3. D´emontrer queCk sont diagonalisables dans la mˆeme base de diagonalisation queC.
4. Soient a0, a1, . . . , an−1 ∈C etM ∈ Mn(C) la matrice
M =
a0 an−1 · · · a2 a1
a1 a0 . .. a3 a2 ... ... . .. ... ... an−2 ... . .. a0 an−1
an−1 an−2 · · · a1 a0
On note ω = exp(2πin ). Soit le polynˆome P(X) = Pn−1
k=0akXk. D´emontrer que M est semblable `a la matrice diagonale
P(1) 0 . . . 0 0 P(ω) ... ... ... ... ... 0
0 . . . 0 P(ωn−1)
.
5. Application: Montrer que la matrice sym´etrique suivante est positive. On rappellera la d´efinition de matrice sym´etrique positive.
1 −12 0 · · · 0 −12
−12 1 −12 0 · · · 0 0 . .. ... ... ... ... ... . .. ... ... ... 0 0 · · · 0 −12 1 −12
−12 0 · · · 0 −12 1
∈ Mn(C)
Exercice 5: NotonsJλ,l∈ Ml(C) le bloc de Jordan
λ 1
. .. ...
. .. 1 λ
∈ Ml(C).
1. SoitA∈ Mn(C) etm >0. Le but de cette partie du probl`eme est de montrer que siAmest diagonalisable, alors dans la r´eduite de Jordan JA de A, les seuls blocs de taille strictement sup´erieure `a 1 sont du type J0,l avec 1< l≤m.
a. Soit A=J0,l avec l >1. Montrer que pour tout i, 1 ≤i < l,Ai n’est pas diagonalisable, maisAl est diagonalisable.
b. Soit A =Jλ,l avec λ6= 0 etl > 1. SiAm est diagonalisable, montrer que Xm−λm est un polynˆome annulateur deA. Trouver une contradiction.
c. Conclure pour toute matrice A, en utilisant le th´eor`eme de Jordan.
2. Soit A∈ Mn(C). D´emontrer que si Am est diagonalisable, alorsAm+1 est diagonalisable aussi.
