Physique G´ en´ erale B
Corrig´e de la 4`eme s´erie d’exercices 2 mai 2012
Rotation d’un solide, Hydostatique, Hydrodynamique, Electrostatique
1. Poulie
Coupons par la pens´ee la corde pour isoler le mouvement des masses et celle de la poulie (voir figure). Dans la “partie des deux blocs”, nous avons les deux tensions de la corde dirig´ees vers le haut et, dans la “partie de la poulie”, l’effet des deux blocs et leur mouvement sont remplac´es par les tensions dirig´ees vers le bas.
a) Nous avons dans ce probl`eme un mouvement rectiligne uniform´ement acc´el´er´e des deux blocs (l’acc´el´eration a est constante) : en effet, il ne peut en ˆetre autrement puisqu’`a la limite o`u la poulie est infiniment l´eg`ere, nous avons aussi un mouvement rectiligne uniform´ement acc´el´er´e pour les deux blocs. Prenons l’axe desy orient´e vertical et orient´e vers le bas comme le montre la figure ci-apr`es :
m
M
m
M T
1T
2mg
Mg T
2T
1y
L’acc´el´erationa´etant constante et les deux masses lach´es sans vitesse initiale, la position y du bloc M est de
y = 1
2at2 ⇒ a = 2y
t2 = 2×0.75
5,02 = 6,00×10−2 m/s2
L’acc´el´eration de la masse M est dirig´ee vers le bas, alors que l’acc´el´eration de la masse m est dirig´ee vers le haut et vaut −6,00×10−2 m/s2.
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b) Utilisons la deuxi`eme loi de Newton pour le mouvement de la masse M, en appelant T~1 la tension de la corde du cˆot´e de M :
M~g + T~1 = M~a ⇒ T1 = M(g − a) = 0,500 (9,81 − 6,0×10−2) = 4,87 N La loi de Newton appliqu´ee maintenant au mouvement du bloc m donne la tension T~2 de la corde du cˆot´e de la masse m :
T2 = m(g + a) = 0,460 (9,81 + 6,0×10−2) = 4,54 N
c) Puisque la corde ne glisse pas dans la gorge de la poulie, l’acc´el´eration tangentielle (lin´eaire) d’un point de cette gorge doˆıt ˆetre la mˆeme que celle des deux masses. Nous savons relier l’acc´el´eration tangentielle at et l’acc´el´eration angulaireγ (cours, page 83) : at = R γ, par cons´equent :
γ = at
R = 6,0×10−2
5,0×10−2 = 1,20 rad/s2
d) La poulie est soumise au moment des tensions T~1 et T~2 dont la r´esultante est M = (T1 − T2)R. En utilisant la loi de Newton pour les rotations, nous avons :
M = d L
dt = d Iω
dt = I γ d’o`u nous tirons le moment d’inertie de la poulie :
I = (T1 − T2)R
γ = (4,87 − 4,54) 5,0×10−2
1,20 = 1,38×10−2 kg·m2
2. Passage d’une marche par une roue
Consid´erons la roue au moment o`u elle quitte le sol. A ce moment, il n’y a plus de r´eaction du sol sur la roue et les seules forces qui s’exercent sur la roue sont :
– le poids de la roue m ~g,
– la force F~ horizontale appliqu´ee sur l’axe de la roue,
– la r´eaction du coin de la marche que nous avons d´ecompos´e en R~v et R~h.
r F
mg Rv
Rh h
Si nous appliquons la force minimale pour que la roue passe l’obstacle, elle n’acc´el`ere pas :la somme des forces et la somme des moments de forces doivent ˆetre nulles. Calculons les moments des forces par rapport au coin de la marche.
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Par rapport au coin, le bras de levier pour la forceF~ est der −h, celui pour le poids m ~g est
pr2 − (r − h)2 = √
2rh − h2 Les moments sont donc :
Pour la force F~ : F ·(r − h) . Pour le poids m~g : −mg·√
2rh − h2. Le moment de la r´eaction est ´evidemment nul.
Nous avons donc : F ·(r − h) − mg·√
2rh − h2 = 0 ⇒ F =
√2rh − h2 r − h mg
3. Deux bulles de savon accol´ees
Dans les bulles 1 et 2, les surpressions sont telles que
∆P1 = 4γ
R1 et ∆P2 = 4γ R2
Le rayon de courbure de la cloison commune est telle que
∆P2−∆P1 = 4γ R3 Par cons´equent : R3 = R1R2
R1−R2
Les trois membranes tirent sur l’arˆete commune avec des forces ´egales en module ; `a l’´equilibre, ces trois forces de tension superficielle doivent s’annuler : les membranes se coupent donc 120◦
4. Tube de Pitot
a) Consid´erons une ligne de courant passant de l’infini aux points A et B. La diff´erence de hauteur entre ces 2 points peut ˆetre n´eglig´ee. En utilisant le th´eor`eme de Bernoulli, nous avons :
PA + 1
2ρairvA2 = PB + 1
2ρairvB2
mais vA = 0 et vB = v; nous avons par cons´equent :
v2 = 2 (PA − PB) ρair
= 2ρalcoolg h
ρair ⇒ v = s
2ρalcoolg h ρair
b) Application num´erique : v =
r2·810·9,80·0,26
1,03 = 63,3 m/s
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5. Pollinisation des fleurs
a) L’abeille portant une charge de q = 45 pC, d´eveloppe un champ `a une distance der = 2 cm de
E = 1 4π0
q r2 =
8.99×109 N·m2 C2
45×10−12C
(0.02 m)2 ≈1000 N/C b) Ce champ est ´evidemment non uniforme.
c)Quand l’abeille, porteuse d’une charge positive s’approche du grain de pollen, une charge n´egative est induite sur la surface du grain qui est la plus proche de l’abeille, ce qui entraˆıne une force d’attraction ´electrostatique qui fait “sauter” le grain de pollen sur l’abeille.
Sur l’anth`ere, les grains de pollen sont dans des loges. On peut consid´erer que ce sont des grains isolants mis les uns sur les autres.
Etamines d’une Amaryllis.
Sur l’abeille, bien qu’il y ait un contact physique entre l’insecte et le grain, il n’y a pas de d´echarge ´electrique, le grain de pollen se comportant comme un isolant.
Quand l’abeille (et le pollen) s’approche d’un stigmate, des charge n´egatives sont induites sur le cˆot´e le plus proche du stigmate, produisant ainsi un champ ´electrique qui est certainement tr`es non-uniforme. Dans certaines configurations, le champ entre l’abeille et le stigmate et qui agit sur le grain de pollen, est plus fort que le champ entre l’abeille et le pollen : le grain de pollen “saute” alors sur le stigmate.
abeille abeille
grain de pollen grain
de pollen
stigmate
en rouge : charges positives, en bleu : charges n´egatives
`a gauche : “capture” des grains de pollen sur l’abeille,
`a droite : pollinisation.
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