Physique G´ en´ erale B
5`eme s´erie d’exercices 16 mai 2012
Electrostatique, Th´ eor` eme de Gauss Magn´ etostatique
Lois de Lorentz et de Laplace, Th´ eor` eme d’Amp` ere
1. Application de la loi de Gauss : cavit´e dans un conducteur
a) Prenons une surface de Gauss qui soit enti`erement immerg´e dans le conducteur et qui entoure la cavit´e. Comme le champ ´electrique dans le conducteur est nul, la charge totale `a l’int´erieur de la surface de Gauss est nulle
Cavité
Surface de Gauss qint = 3 µC
qparoi + qint = 0 ⇒ qparoi = −3µC
b) La charge n´egative sur la paroi de la cavit´e est induite par la pr´esence de la charge ponctuelle `a l’int´erieur de la cavit´e. L’apparition de cette charge n´egative est compens´ee par l’apparition d’une charge positive de + 3µC `a la surface ext´erieure du conducteur ; c’est d’ailleurs l’endroit le plus ´eloign´e de la charge n´egative o`u ces charges positives peuvent aller. La charge `a la surface ext´erieure du conducteur est donc la somme de la charge que le conducteur portait et de cette charge induite : qtotal = 10 + 3 = 13µC.
2. Spectrom`etre de masse
On se reportera au cours, page 175 pour les notations utilis´ees.
Le diam`etre de la trajectoire circulaire des ions est de d = 2 B
s2mV q avec m : masse de l’ion, q : charge de l’ion,
V : diff´erence de potentiel d’acc´el´eration des ions etB valeur du champ magn´etique.
1
Nous tirons : m = B2q d2
8V et, en diff´erentiant l’expression dem :
∆m = B2q
8V ∆(d2) = B2q
8V 2d(∆d) Avec l’expression de ddonn´e au d´ebut de l’exercice, il vient :
∆m = B2q 8V 2 2
B
s2mV
q (∆d) = B rmq
2V (∆d) La distance entre les deux points d’impact des ions est de :
(∆d) = ∆m B
s2V mq
(∆d) = (37 − 35)·1,66×10−27 0,50
s
2·7,3×103
36·1,66×10−27·1,60×10−19 = 8,20×10−3 m 3. Une barre sur des rails
Utilisons la loi de Laplace pour trouver la force s’exer¸cant sur la barre :F~L = i~L∧B~. Dans la configuration repr´esent´ee sur le dessin, la force sur la barre est de FL = i d B et pointe vers la gauche. Cette force est constante et imprime `a la barre un mouvement rectiligne uniform´ement acc´el´er´e.
La vitesse de la barre apr`es un laps de temps de ∆t = 61,1 millisecondes est donc v = a·∆t = FL∆t
m = idB∆t m v = 9,13×10−3·2,56×10−2·5,63×10−2·0,0611
2,41×10−5 = 3.34×10−2 m/s La vitesse est dirig´ee vers la gauche.
4. Champ magn´etique produit par un sol´eno¨ıde et un fil rectiligne a) Soit B~s et B~f les champs magn´etiques cr´e´es par le sol´eno¨ıde et par le fil conducteur.
Nous savons que B~s est orient´e le long de l’axe du sol´eno¨ıde et que B~f et perpen- diculaire au fil (donc `a l’axe du sol´eno¨ıde) et tangent `a des cercles ayant comme centre le fil (voir cours). B~s etB~f sont donc perpendiculaires. Pour que le champ magn´etique r´esultant soit `a 45◦ par rapport `a l’axe, il suffit que les modules de B~s
etB~f soient ´egaux au point P situ´e `a une distance d de l’axe : Bs = µ0n is = Bf = µ0if
2πd donc :
d = if
2πnis
= 6,0
2π10 (20×10−3) = 4,77 cm b) Le champ r´esultant vaut alors :
B = √
2Bs = √
2 (4π×10−7)(20×10−3)10/0.01 = 3,55×10−5 T
2
