Physique G´en´erale B

Physique G´ en´ erale B

Corrig´e de la 2`eme s´erie d’exercices 28 mars 2012

Lois de Newton, Lois de Kepler, Travaux

1. Poulie

Nous savons que le bloc le plus lourd va descendre et que la masse la plus l´eg`ere va monter. Les id´ees principales ici sont que les deux masses ont des acc´el´erations ayant les mˆemes modules, la corde ´etant inextensible, et que ces acc´el´erations sont reli´ees aux forces nettes s’exer¸cant sur les blocs.

Les forces s’exer¸cant sur les deux blocs sont dessin´ees sur la figure ci-apr`es.

m M a

a T T

m g

M g

y y

Nous allons projeter tous les vecteurs sur l’axe vertical y et appelons a le module de l’acc´el´eration.

Pour la masse m : T − m g = m a Pour la masse M : T − M g = −M a.

En r´esolvant ce syst`eme de 2 ´equations `a deux inconnues (a et T), nous obtenons : a = M − m

M + mg T = 2m M

M + mg a = 2,8 − 1,3

2,8g1,3 9,80 = 3,6 m/s² T = 2,8 · 1,3

2,8g1,3 9,80 = 17 N

Nous remarquons que la tension T de la corde (17 N) est comprise entre le poids de la masse m et celle de la masse M :

masse m : m g = 13 N masse M :M g = 27 N .

Ceci n’est pas ´etonnant puisque la masse m monte et la masse M descend.

2. Frottements 1

N_s

f_bp f_pb

N_pb

N_bp

m_p g

m_b g F

Plaque Bloc

A priori, le bloc et la plaque ne sont pas solidaires. Les forces s’exer¸cant sur le bloc et sur la plaque sont donn´ees sur la figure ci-dessus. F~ est la force de 100 N appliqu´ee au bloc, N~S et la force de r´eaction du sol sur la plaque, N~pb et N~bp les forces normales exerc´ees par le bloc sur la plaque et par la plaque sur le bloc, respectivement, f~pb etf~bp

les forces de frottement entre le bloc et la plaque ;mp etmb sont les masses de la plaque et du bloc. Nous avons bien entendu : |f~pb |=|f~bp | , | N~pb|=|N~bp | . Prenons l’axe des x dirig´e vers la gauche et l’axe y dirig´e vers le haut. En projetant la loi de Newton sur ces deux axes, nous avons :

Pour la plaque : fpb = mpap (1)

Ns − Npb − mpg = 0 (2)

Pour le bloc : F − fbp = mbab (3)

Nbp − mbg = 0 (4).

De la derni`ere ´equation (4), nous d´eduisonsNbpet, de l`a, la force maximale de frottement statique : µsNbp = µsmbg = 59 N .

Si le bloc ne glisse pas sur la plaque, nous aurons ap = ab = a . Si tel ´etait le cas, nous aurions f = fbp = fpb et :

f = F − mba ´equation (3) , mais a = f mp

d⁰o`u

f = F − mb

mp

f ⇒ f = mpF mp + mb

= 40×100

40 + 10 = 80 N

Conclusion : Pour que les 2 objets ne glissent pas l’un par rapport `a l’autre, il faudrait une force de frottement de 80 N, ce qui est bien trop important, vu le poids du bloc dans ce probl`eme ! Nous concluons que les deux objets glissent l’un par rapport `a l’autre et ont, par cons´equent, des acc´el´erations diff´erentes. Nous devons d’autre part utiliser le coefficient de frottement cin´etique µc.

En utilisant les 3`eme et 4`eme ´equation ci-dessus avec fbp = µcmbg : ab = F − µcmbg

mb

= 100 − 0,40×10×9,80

10 = 6,1 m/s²

Avec la premi`ere ´equation : ap = fpb

mp

= µcmbg mp

= 0,40×10×9,80

40 = 0,98 m/s²

3. Luge

Nous avons la situation dessin´ee sur la figure ci-dessous.

La deuxi`eme loi de Newton X

F~^ext = T~ + N~ + F~g = m~a , projet´ee sur les deux axes, donne :

- F

sin θ

- F

cos θ T sin α

T cos α N

F

θ

α

y T x

α = 20

ο

θ = 35^ο

X F_x^ext = T cos α − Fg sin θ = m ax

X F_y^ext = T sin α + N − Fg cos θ = 0

Avec T = 40 N , Fg = 8 × 9,81 N, θ = 35^◦ et α = 20^◦ , nous obtenons : ax = −0,92 m/s² et N = 50,5 N . Le signe moins sur ax montre que la luge est acc´el´er´ee vers le bas de la pente : la composante selon Ox de la tension T ne compense pas celle de la force de gravitation qui tire la luge vers le bas de la pente.

4. Lois de Kepler et de la gravitation

Avec la troisi`eme loi de Kepler T¹

T2

²

= R¹

R2

³

o`u T1 , T2 sont les p´eriodes de r´evolution des satellites, et R1 , R2 les rayons de leurs orbites, nous avons imm´ediatement le rayon de l’orbite d’Europe : 6,71×10⁵ km . Pour avoir la masse de Jupiter, nous devons utiliser la loi de la gravitation universelle. Nous avons ainsi vu que : T² = 4π²

G M

R³ avec G = 6,67×10⁻¹¹ N m²/kg² o`u M est la masse de l’astre autour duquel gravite le satellite. Nous trouvons ainsi MJ upiter = 1,90×10²⁷ kg .

5. Calcul de travaux

a) Il n’y a aucune acc´el´eration : la somme des forces agissant sur la caisse (son poids m~g, la tension T~ de la corde et la force F~ ) doit ˆetre nulle : m~g + T~ + F~ = 0 . En projetant sur l’axe Ox horizontal et l’axeOy vertical :

L = 12 m

α α

F

mg F _i

4 m

T T

dr Travail de la tension T

O x

y

I F

Sur Ox F = −T sinα et sur Oy −mg = T cosα Donc : |T~| = mg

cosα et |F~| = mg tanα . Dans ce probl`eme, sinα = 4

12 ⇒ α = 19.47^◦ et tanα = 0.3535 ⇒ |F~| = 796,90 N . b) Travail total sur la caisse. Le travail total effectu´e sur la caisse est la somme des

travaux des 3 forces qui s’exercent sur elle. Nous n’avons cependant pas besoin de connaˆıtre a priori ces forces pour en calculer le travail total. En effet, la caisse est d´eplac´ee `a vitesse quasi nulle : en utilisant le th´eor`eme de l’´energie cin´etique, nous avons, entre les deux situation initiali et final f :

Wif = Tf − Ti = 0 − 0 = 0 Le travail total sur la caisse est nul.

c) Travail effectu´e par le poids. La caisse a ´et´e d´eplac´ee verticalement de ∆y = 12 − 12 · cosα = 0.686 m , par cons´equent, le travail de la force de pesanteur sur la caisse est de

Wpoids = −∆y ·mg = −0,686×230×9,80 = −1548,5 Joules

d) Travail de la tension de la corde. La corde est inextensible : la caisse d´ecrit un arc de cercle de 12 m`etres de rayon. Comme le d´eplacement d~r est toujours tangent

`a la trajectoire (l’arc de cercle) et que la tension est selon la corde, c.`a.d. selon le rayon (voir la figure de droite de la page pr´ec´edente), nous avons toujours

δWtension = T~ · d~r =

|{z}

T~⊥d~r

0 → Wtension = Z f

i

T~ · d~r = 0

La tension de la corde ne “travaille” pas!

e) Travail de la force de pouss´ee F~. Nous avons vu au point b) que le travail total sur la caisse ´etait nul dans ce d´eplacement quasitatique (`a vitesse quasi nulle) :

Wif = 0 = Wpoids + Wtension + WF = Wpoids + 0 + WF

⇒ WF = −Wpoids = 1548,5 Joules

f) Le travail WF n’est pas ´egal au produit de la force F obtenue sous a) multipli´ee par la distance ∆x = 4 m`etres ! En effet, la force F~ varie tout au long du chemin : il est pratiquement nul dans la situation initiale et augmente comme la tangente de l’angle α. Nous ne pouvons ´evidemment pas la consid´erer comme constante et la multiplier par la distance parcourue pour trouver le travail.

Remarque Nous avons utilis´e le Th´eor`eme de l’Energie cin´etique qui dit que le travail des forces (de toutes les forces) fait varier l’Energie cin´etique. Comme ici, la variation de l’´energie cin´etique est nulle, le travail des forces est nul. Remarquez ici que nous avons pris toutes les forces et qu’`a la fin, nous avons obtenu que le travail de la force de pouss´ee F est juste ´egal `a mg∆y = ∆Epot = ∆Em´ec puisque ∆Ecin = 0.

Si vous d´esirez utiliser le fait que le travail des forces ext´erieures `a un syst`eme o`u n’existent que des forces conservatives fait varier l’´energie m´ecanique de ce syst`eme, vous le pouvez aussi : ici, le syst`eme est la masse attach´ee au fil et la Terre. Les forces

`a consid´erer sont la tension et la force de pouss´ee. Le poids de la masse `a pousser n’in- tervient pas dans nos consid´erations car c’est une force conservative interne au syst`eme.

Le travail des forces ext´erieures est : 0 +mg∆y = ∆Emec´ puisque ∆Ecin = 0.

On obtienne le mˆeme r´esultat par les deux m´ethodes. Celle du Th´eor`eme de l’Energie cin´etique est peut-ˆetre plus facile `a utiliser ici, car elle ne n´ecessite pas l’analyse du syst`eme et l’exclusion des forces donnant l’´energie potentielle.

A propos des tensions dans les cordes, ficelles etc...

On d´etermine en un point xquelconque de la corde la force (appel´ee “tension”) T~¹ qu’il faudrait appliquer `a la portion P1 de cette corde afin que le mouvement de P1 ne soit pas chang´ee si on coupait la corde enx.

P

P

T

T

T~1 remplace donc l’effet du compl´ement de la portion P1 de la corde sur P1 et T~2 celui du compl´ement de P² sur P².

On d´efinit de la mˆeme fa¸con la tension T~² pour que le mouvement de la portion P² ne soit pas affect´ee. Par le principe d’action et de r´eaction (3^`eme loi de Newton), on a tout de suite

T~¹ = −T~²

La tension (en module) est unique dans une corde inextensible.