Physique G´ en´ erale B
Corrig´e de la 9`eme s´erie d’exercices 16 octobre 2012
Deuxi` eme principe de la Thermodynamique
1. Nombre d’´etats microscopiques 1
Le nombre d’´etats possibles pour N particules avec N0 particules dans la moiti´e gauche et N1 = N − N0 particules dans la moiti´e droite est ´egale au nombre de com- binaisons de N particules N0 `aN0 : W = N!
N0! (N − N0) ! .
Pour la configuration o`u il y a 50 particules `a droite et 50 particules `a gauche, nous avons :
W50100 = 100 !
50 ! 50 ! = 9,33×10157
(3,04×1064) (3,04×1064) = 1,01×1029 alors que si N0 = 100, nous aurions :
W100100 = 100 !
100 ! 0 ! = 1 0 ! = 1
1 = 1
La configuration N0 = 50 et N1 = 50 est ainsi bien plus probable que celle o`u N0 = N = 100.
N = 100 est un petit nombre ; que dire alors de la situation o`u nous avons des nombres de l’ordre de 1023! Il n’y a donc qu’une probabilit´e infime que, tout `a coup, toutes les mol´ecules se mettent dans une moiti´e de la salle !
2. D´etente de Joule, nombre d’´etats r´eduits, entropie Le nombre d’´etats d´etaill´es ou la multiplicit´e des ´etats r´eduits est de
WNN0 = N! N0! (N − N0)!
N0 ´etant le nombre de particules dans le compartiment 0. Nous allons d´esigner les ´etats r´eduits dans le tableau suivant par un chiffre romain. L’entropie est calcul´ee `a partir du nombre d’´etats d´etaill´es par
S = k lnWNN0
1
Num´ero Nbre mol´ecules WNN0 S
compartiment 0 [J/K]
I 8 1 0
II 7 8 2,9×10−23
III 6 28 4,6×10−23
IV 5 56 5,6×10−23
V 4 70 5,9×10−23
VI 3 56 5,6×10−23
VII 2 28 4,6×10−23
VIII 1 8 2,9×10−23
IX 0 1 0
3. Nombre d’´etats microscopiques 2
a) D´esignons parN1, N2 etN3 le nombre de mol´ecules dans chacune des cases etN le nombre total de ces mol´ecules. Il y aN! arrangements desN mol´ecules dans la boˆıte, mais N1! de ces arrangements sont simplement des r´earrangements des N1 mol´ecules dans la premi`ere des cases, comme il y a ´egalement N2! et N3! r´earrangements dans les cases 2 et 3. Ces r´earrangement ne produisent pas de nouvelle configuration, par cons´equent, le nombre d’´etats d´etaill´es est :
W = N! N1!N2!N3!
b) Si la moiti´e des mol´ecules se trouvent dans la moiti´e gauche de la boˆıte et l’autre moiti´e dans celle de droite, le nombre d’´etats d´etaill´es est alors :
WB = N! N/2 !N/2 !
Si le tiers des particules se trouve dans chaque tiers de la boˆıte, nous aurons le nombre suivant d’´etats d´etaill´es :
WA = N!
N/3 !N/3 !N/3 !
et le rapport des nombres d’´etats d´etaill´es dans les deux situations set : WA
WB
= N/2 !N/2 ! N/3 !N/3 !N/3 ! Application num´erique : N = 100
WA
WB
= 50 ! 50 !
33 ! 33 ! 34 ! = 4,16×1016
Ceci montre que la situation dans laquelle les 3 cases contiennent le mˆeme nombre de particules est beaucoup plus favoris´e que celle o`u le mol´ecules se r´epartissent pour la moiti´e dans la moiti´e gauche et pour moiti´e dans la partie droite. L’exemple donn´ee sur la figure ci-apr`es montre que, dans le cas de la r´epartition moiti´e `a gauche et moiti´e `a droite, une inhomog´en´eit´e peut se produire, alors qu’avec une r´epartition identique dans les 3 compartiments, une plus grande homog´en´eit´e peut ˆetre atteinte. A m´editer...
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4. Variation d’entropie Point principal de l’exercice
L’entropie est une fonction d’´etat ; sa variation ne d´epend que des ´etats initial et final du syst`eme ´etudi´e mais pas du processus envisag´e. Ici nous avons un processus visible- ment irr´eversible : personne ne pense qu’apr`es avoir eu l’´egalisation des temp´eratures des deux masses, ces masses, d’elles-mˆemes, voient leur temp´eratures revenir aux temp´eratures initiales de T1 = 60◦ C et T2 = 20◦ C.
Pour calculer la variation d’entropie, nous pouvons consid´erer une succession de processus r´eversibles menant au mˆeme ´etat final et d´eterminer ∆S =
Z f i
dS pour ces processus.
Pour chacun de ces processus r´eversibles, nous pouvons utiliser le Th´eor`eme de Clausius pour calculer dS.
Nous pouvons envisager les processus r´eversibles suivants et calculer la variation d’entro- pie des deux masses : les masses sont mises en contact avec des r´eservoirs de chaleur et
´echangent de la chaleur avec eux. Nous pouvons en tout instant contrˆoler la temp´erature du r´eservoir de chaleur et les ´echanges de chaleur que ce dernier effectue avec les masses : les transformations sont ainsi en tout instant r´eversibles
Isolation
δQ δQ
Reservoir Reservoir
Pour la masse initialement `a 60◦ C : nous la mettons en contact avec le r´eservoir et peu `a peu abaissons sa temp´erature en absorbant successivement des quantit´es infinit´esimales de chaleur δQ = M c dT , c ´etant la chaleur sp´ecifique de la masse. Cette quantit´e de chaleur est c´ed´ee par la masse. En passant deT1 `aTf, la variation d’entropie de la masse est donc :
∆S1 = Z f
i
dS1 = Z f
i
δQ T =
Z Tf
T1
McdT
T = M c Z Tf
T1
dT
T = M c lnTf
T1 Num´eriquement :
∆S1 = 1,5×386 ln313
333 = −35,86 J/K De mˆeme, pour la masse initialement `a 20◦ C :
∆S2 = 1,5×386 ln313
293 = + 38,23 J/K
La variation d’entropie est donc : ∆S = ∆S1 + ∆S2 = 2,4 J/K > 0 en accord avec le 2`eme principe de la Thermodynamique.
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