Physique G´ en´ erale B
16`eme s´erie d’exercices 4 d´ecembre 2012
Interf´ erences et diffraction
1. Fentes de Young 1
Consid´erons les deux rayons issus des deux fentes et produisant la septi`eme frange brillante sur l’´ecran. Les deux ondes issus des deux fentes sont en phase lorsqu’elles sont
´emises mais ont des parcours diff´erents jusqu’`a la septi`eme frange brillante (voir la figure ci-apr`es). Puisqu’il s’agit encore d’une frange brillante m = 7, la diff´erence de phase entre les deux ondes est deϕ = 7×2π = 14π et la diff´erence des parcours est de 7 fois la longueur d’onde.
m = 7
m = 0 O
A
m = 7
m = 0 O 1
2
Lame de mica d'épaisseur x
1
2
Maintenant, si nous pla¸cons une lame de mica d’´epaisseur x devant l’une des fentes, une diff´erence de phase suppl´ementaire se d´eveloppe. En termes de nombre de longueurs d’onde, si λm est la longueur d’onde de la lumi`ere dans le mica, l’introduction de la lame d’´epaisseur x donne une diff´erence de parcours de :
Nbr. de longueur d’onde dans le mica - Nbr. de longueur d’onde dans l’air
= x
λm − x λ = x
λ ·(n − 1)
En effet, si λm est la longueur d’onde de la lumi`ere dans le mica d’indice de r´efraction n, λm = λ/n (l’indice de r´efraction dans l’air peut ˆetre prise ´egal `a 1). La diff´erence de phase est de :
2π · x
λm − 2π · x
λ = 2π · x
λ ·(n − 1)
Pour les deux rayons aboutissant en O dans la figure de droite, `a part la diff´erence de phase introduite par la lame, toutes les distances parcourues sont exactement les mˆemes.
1
Pour que ce soit la frange brillante d’ordre m = 7 qui vienne en O, il faut que cette diff´erence de phase soit de 7×2π, donc :
2π · x
λ ·(n − 1) = 7×2π ou : x = 7λ
n − 1 = 7 · 550×10−9
1,58 − 1 = 6,64×10−6 m`etre 2. Fente de Young 2
Les franges brillantes d’une figure d’interf´erence `a deux fentes sont localis´ees `a des anglesθdonn´es par d sinθ = m λ, expression dans laquelledest la s´eparation des deux fentes, λ la longueur d’onde de la lumi`ere et m un entier (m = 0, 1, 2, ...). Si l’angle θ est petit (ce qui revient `a dire que l’´ecran est plac´e loin des deux fentes), nous pouvons faire l’apporximation sinθ ' θ [radians]. Par cons´equent,d θ = m λ.
La s´eparation angulaire de deux franges brillantes correspondantes `a la mˆeme valeur de m, mais pour des longueurs d’onde diff´erentes est alors de ∆θ = (m/d) (λ2 −λ1) et leur s´eparation sur l’´ecran distant deD des fentes est de :
∆y = D tan ∆θ ≈ D∆θ = m D
d (λ2 − λ1)
Ici aussi, nous avons fait l’approximation des petits angles : tan ∆θ ≈ ∆θ [radians].
Num´eriquement :
∆y = 3·1,0
5,0×10−3(600−480)×10−9 = 7,2×10−5 m
3. R´esolution, crit`ere de Rayleigh
Du `a la diffraction sur notre pupille, les phares de la voiture ne vont pas nous ap- paraˆıtre comme deux points brillants, mais comme deux figures de diffraction, c’est `a dire deux disques brillants (correspondant aux deux maxima centraux) entour´es d’anneaux sombres et brillantes. Pour pouvoir distinguer ces deux figures, nous demandons `a ce que le maximum central de l’une des figures, au moins, co¨ıncide avec avec le premier anneau sombre de l’autre figure : c’est le crit`ere de Rayleigh. Transpos´e en angle, ce crit`ere donne l’angle minimum que nous pouvons distinguer pour une longueur d’onde λ :
θR ≈ 1,22λ
d d : diam`etre de l0ouverture, ici, de la pupille.
Dans notre cas, le diam`etre de la pupille est de d = 5 mm et la longueur d’onde de la lumi`ere est de 550 nm (vert) ; cette longueur d’onde est celle du maximum de sensibilit´e de l’oeil humain. Par cons´equent :
θR = 1,22 · 550×10−9
5×10−3 = 134,2×10−6 radians
En faisant l’approximation des petits angles nous pouvons estimer la distanceL`a laquelle nous pouvons dire que nous pouvons distinguer les deux phares de la voiture et non
2
pas une seule tache, pour autant que la diffraction soit la seule cause d’une mauvaise r´esolution de l’image des deux phares :
θ = θR ≈ tanθ = dist. entre phares
L = 134,2×10−6 radians Si les phares sont distants de 1,4 m`etres, L ' 10,4 km .
Remarque : A cette distance (L = 10 km), d’autres causes peuvent brouiller la percep- tion, en particulier, les turbulences des couches d’air.
Ce petit exercice peut ˆetre r´ep´et´e pour n’importe quel instrument d’optique, que ce soit des microscopes ou des lunettes astronomiques.
4. Radar
a) Le premier minimum d’un figure de diffraction par une ouverture circulaire se trouve
`a un angle θ mesur´e `a partir du centre de la figure de diffraction, tel que sinθ = 1,22λ
d , expression dans laquelle λ est la longueur d’onde et d le diam`etre de l’an- tenne [on assimile ici le faisceau radar `a celui qui “sort” d’une ouverture circulaire dont le diam`etre est ´egal `a celui de l’antenne].
Si l’antenne ´emet `a la fr´equence f = 220 GHz, la longueur d’onde correspondante and l’air est de
λ = c
f = 3,00×108
220×109 = 1,36×10−3 m Par cons´equent,
θ = Arcsin
1,22λ d
= Arcsin
1,22·1,30×10−3 55×10−2
= 3,02×10−3 radians L’ouverture angulaire du faisceau radar est le double de cette valeur, c’est `a dire 2θ = 6,04×10−3 radians = 0,346◦.
b) Pour le radar conventionnel avec λ = 1,6 cm (⇒ f = 18,75 GHz) etd = 2,3 m, nous avons :
θ = Arcsin
1,22·1,6×10−2 2,3
= 8,5×10−3 radians
L’ouverture angulaire du pic central de diffraction est ainsi de 1,7×10−2 radians = 0,974◦.
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