Physique G´en´erale B

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Physique G´ en´ erale B

Corrigé de la 13ème série d’exercices 13 novembre 2012

G´ en´ eralti´ es sur les ondes

1. Une onde

Nous recherchons les param`etres suivants de l’onde : son amplitude maximale ym, sa pulsation ω et son nombre d’onde k. D’apr`es le dessin, y_m = 2,0 cm .

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

d

x [cm]

y [cm]

2 1

Pour trouver le nombre d’ondes k, nous utilisons la relation qui le lie `a la longueur d’onde k = 2π

λ . En examinant les instantan´es, nous trouvons que λ = 4 cm , par cons´equent :

k = 2π

λ = 2π

0,04 = 157 m⁻¹

La pulsation est reliée à la longueur d’onde et à la vitesse de l’onde v par v = ω k . Par ailleurs, en 1 milliseconde, l’onde a parcouru une distance d = 3,16 cm , donc :

v = 0,0316

0,001 = 31,6 m/s . La pulsation est alors :

ω = k v = 157·31,6 = 4961 s⁻¹

L’onde est progressive (elle se propage vers lesxpositifs), son ´equation est par cons´equent : y(x, t) = 2 sin(157x − 4961t) [cm]

1

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2. Energie transport´ee par une onde m´ecanique progressive le long d’une corde

Rappel. Nous avons vu (cours, page 302) que la vitesse d’un élément de la corde à une position donnée est de

u = ∂ y

∂t = −ω ym cos(kx−ωt) pour un élément de longueur dx, l’énergie cinétique est de

d E^cin = 1

2µ u²dx = 1

2µ ω²y_m² cos²(kx−ωt)dx

Nous obtenons le taux de variation de l’´energie cin´etique en divisant d E^cin par dt. Il apparaˆıt le rapport dx

dt qui n’est autre que la vitesse v de l’onde : d E^cin

dt = 1

2µ ω²y_m² cos²(kx−ωt)dx dt = 1

2µ v ω²y_m² cos²(kx−ωt)

Nous lisons sur les graphes, en n’oubliant pas que nous avons dessiné une fonction cosinus au carré, que la fréquence de l’onde est de f = 1

2ms = 500 Hz et que la longueur d’onde est de λ = 0,20 m. Nous lisons aussi que le maximum de d E^cin

dt est de 10 W. En comparant à l’équation obtenue précédemment :

1

2µ v ω²y²_m = 10 W

Avec : µ = 0,002 kg/m, ω = 2π f et v = f λ, nous obtenons : ym =

r 10

2π²µ λ f³ = 0,0032 m

3. Equation d’onde

1 v

²

∂

²

y(x, t)

∂ t

²

= ∂

²

y(x, t)

∂x

²

Pour trouver la vitesse de l’onde, il nous faut d´eriver les ´equations des ondes par rapport

`a xet par rapport `a t.

a) y(x, t) = (3,0mm) sin[(4,0m⁻¹)x − (7,0s⁻¹)t]

∂ y

∂x = 3·4 cos(4x − 7t) ∂²y

∂x² = −3·4·4 sin(4x − 7t)

∂ y

∂t = −3·7 cos(4x − 7t) ∂²y

∂t² = −3·7·7 sin(4x − 7t) Nous d´eduisons de l’´equation d’onde la vitesse de l’onde :

v² = 7·7

4·4 ⇒ v = 7

4 = ω

k = 1,75 m/s 2

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b) y(x, t) = (2,0mm)p

[(20,0m⁻¹)x − (4,0s⁻¹)t] = 2 (20x − 4t)¹^/²

∂ y

∂x = 2

220 (20x − 4t)⁻¹^/² ∂²y

∂x² = −1

220·20 (20x − 4t)⁻³^/²

∂ y

∂t = −2

24 (20x − 4t)⁻¹^/² ∂²y

∂t² = −1

24·4 (20x − 4t)⁻³^/² Nous d´eduisons de l’´equation d’onde la vitesse de l’onde :

v² = 4·4

20·20 v = 4 20 = ω

k = 0,20 m/s

Nous aurions pu montrer qu’une fonction y(x, t) = f(kx−ωt) satisfait `a l’´equation d’onde !

4. Onde stationnaire

Les relations utiles sont : f = v

λ et v = rτ

µ, expressions qui relient la fréquence f à la vitesse v de l’onde et à la longueur d’onde λ , d’une part, et la vitesse v à la tension τ et à la masse par unité de longueur µ du fil, d’autre part.

L

₁

L

₂

Aluminium Acier

m

a) La fréquence de l’onde est la même dans les deux parties du fil, mais la vitesse de l’onde et la longueur d’onde sont différentes dans les deux parties. Supposons qu’il y a n¹ ventres dans la partie en Aluminium du fil. Dans cette partie s’établit donc une onde stationnaire avec n¹ ventres et (n¹ + 1) noeuds, les extrémités gauche et droite de la partie en aluminium átant des noeuds. Par conséquent : L¹ = n¹ λ1

2 = n¹ v1

2f , expression dans laquellef est la fr´equence de l’onde et v¹ la vitesse de l’onde dans la partie en Aluminium. Par cons´equent : f = n¹ v¹

2L1

.

Si nous appleonsn²le nombre de ventres dans la partie en acier, nous obtenons ´egalement : f = n² v²

2L² . Comme la fr´equence est la mˆeme dans les deux parties, n¹ v¹

L1

= n² v² L2

3

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Examinons maintenant les vitesses des ondes. Dans l’expression de la vitesse intervient la masse “lin´eaire” du fil :

µ = masse

L = ρ×section×L

L = ρ×section Ainsi : v¹ =

r τ

ρ¹×section et v² =

r τ

ρ²×section (la tension est la mˆeme dans les deux parties du fil, comme l’est la section). Nous avons donc :

n¹ v¹ L1

= n² v²

L2 ⇒ n² n1

= L²√ρ² L1√ρ1

= 0,866 0,600

p7,80×10³

p2,60×10³ = 2,50

Les entiers n¹ et n² les plus petits sont n¹ = 2 et n² = 5. La fr´equence f est donc f = n¹ v¹

2L1

= n¹ 2L1

r τ

ρ1×section. La tension est celle donn´ee par la masse m : τ = m g, donc :

f = n1

2L¹

r m g

ρ¹×section = 2 2·0,60

r 10·9,80

2,60×10³ · 1,0×10⁻⁶ = 324 Hz

b) L’onde stationnaire présente 2 ventres dans la partie en aluminium et 5ventres dans la partie en acier. Puisque les extrémités sont eux-mêmes des noeuds, en tout sur le fil il y huit noeuds.

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