ecritblanc 20151116

M1 MEEF 2nd degr´ e, CAPES de Math´ ematiques Ecrit blanc du 16 novembre 2015 ´

Dur´ ee : 5h

Une attention particuli`ere sera port´ee lors de la correction `a la lisibilit´e de la copie et `a la qualit´e de la r´edaction. Il est en particulier fondamental, lorsque l’on utilise un r´esultat du cours, de l’´enoncer clairement et de v´erifier que l’on est bien dans son champ d’application !

Par ailleurs, si un(e) candidat(e) d´etecte ce qu’il/elle pense ˆetre une erreur d’´enonc´e, il/elle le signale tr`es clairement sur sa copie, propose une correction et poursuit l’´epreuve en cons´e- quence.

Ce sujet, compos´e de trois probl`emes ind´ependants les uns des autres, comporte 5 pages num´erot´ees de 1 `a 5.

Probl` eme 1

Le but de ce probl`eme est d’´etudier la convergence des s´eries de terme g´en´eral (1/(n<sup>β</sup>(ln n)<sup>1+α</sup>)n≥2, o`u α et β sont des r´eels fix´es, et d’obtenir un d´eveloppement asymptotique de la s´erie harmo- nique.

Pr´ eliminaire

1. Sur les comparaisons s´eries et int´egrales. Soit n₀ un entier non nul et f une fonction positive, continue par morceaux sur [n0, +∞[ et d´ecroissante sur cet intervalle.

(a) Montrer que pour tout entier n ≥ n₀+ 1, Z n+1

n0+1

f (t) dt ≤

n

X

k=n0+1

f (k) ≤ Z n

n0

f (t) dt

(b) Comparer la convergence de la s´erie P

n≥n0f (k) et celle de l’int´egrale R+∞

n0 f (t) dt.

2. Sur la fonction logarithme n´ep´erien. Montrer que pour tout x > 0, ln x ≤ x. En d´eduire que ln x/x est born´e sur ]0, +∞[, puis, pour tout a > 0 fix´e, que ln x/x^a converge vers 0 lorsque x tend vers +∞.

Partie 1 : Les cas triviaux

1. Montrer que si β > 1, pour tout α ∈ R, la s´erie de terme g´en´eral (1/(n^β(ln n)^1+α)_n≥2 est convergente (On pourra distinguer les cas α ≥ −1 et α < −1) .

2. Montrer que si β < 1, pour tout α ∈ R, la s´erie de terme g´en´eral (1/(n^β(ln n)^1+α)n≥2 est divergente (On pourra distinguer les cas α ≤ −1 et α > −1).

Partie 2 : Le cas β = 1.

On rappelle que e d´esigne la base du logarithme n´ep´erien et on note I l’intervalle [e, +∞[.

Pour tout r´eel α, on consid`ere la fonction f_α d´efinie sur I par f_α(t) = 1 t(ln t)^1+α. 1. On ´etudie dans cette question le cas α = 0.

(a) Justifier que f₀ est d´erivable sur I et donner une expression de sa d´eriv´ee f₀⁰.

(b) ´Etudier les variations de f0 sur I.

(c) Donner l’allure de la courbe repr´esentative de f₀. (d) D´eterminer une primitive de f₀ sur I.

(e) L’int´egrale R+∞

e f₀(t) dt est-elle convergente ? (f) Conclure quant `a la convergence de la s´erie

X

n≥2

1 n ln n.

2. En d´eduire le comportement de la s´erie de terme g´en´eral (1/(n(ln n)^1+α)_n≥2lorsque α < 0.

3. On se place pour l’ensemble de cette question 3) dans le cas o`u α est un r´eel strictement positif fix´e.

(a) Justifier la d´erivabilit´e de f_α sur I et donner une expression de sa d´eriv´ee f_α⁰. (b) ´Etudier les variations de fα sur I.

(c) D´eterminer une primitive de f_α. (d) L’int´egrale R+∞

e f_α(t) dt est-elle convergente ? (e) Conclure quant `a la convergence de la s´erie

X

n≥2

1 n(ln n)^1+α.

4. On se place pour l’ensemble de cette question dans le cas α = −1 α = −2. On consid`ere la suite (u_n) d´efinie par

u_n =

n

X

p=1

ln p p − 1

2(ln n)² (a) Pour tout n ≥ 1, calculer

Z n+1 n

ln t t dt.

(b) ´Etudier les variations de la fonction t 7→ ln(t)/t sur [e, +∞[.

(c) En d´eduire la monotonie de la suite (u_n)_n≥3. (d) Montrer ´egalement que pour tout entier n ≥ 3,

n

X

p=3

ln p p ≥

Z n+1 3

ln t t dt puis que

u_n≥ ln 2 − (ln 3)² 2 (e) En d´eduire que la suite (u_n) est convergente.

(f) Prouver, pour tout entier n ≥ 1, l’in´egalit´e suivante : u_n

ln n+ ln n

2 ≤

n

X

p=1

1 n

(g) Retrouver la divergence de la s´erie de terme g´en´eral (1/n)n≥1.

2/5 Tournez SVP

Partie 3 : Comportement asymptotique de la s´ erie harmonique

On consid`ere la suite (H_n) d´efinie par H_n=Pn p=11/p.

1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, ln(n + 1) ≤ Hn≤ 1 + ln n et en d´eduire un ´equivalent simple de H_n.

2. ´Etudier les variations de la suite (H_n− ln n), puis d´emontrer sa convergence. On notera γ sa limite.

3. Pour tout entier n ≥ 1, on note γn= Hn− ln n. D´eterminer, lorsque n tend vers +∞, un

´equivalent de γ_n+1− γ_n. Que peut-on en d´eduire pour la convergence de la s´erie de terme g´en´eral (γ_n+1 − γ_n)_n? Montrer que l’on peut ainsi retrouver le r´esultat de la question pr´ec´edente.

4. Montrer que

X

n≥2

 1

n − ln n n − 1



= γ − 1.

5. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1,

γ_n− γ =

+∞

X

k=n+1

 ln k

k − 1 − 1 k



6. Effectuer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 de ln k

k − 1 − 1

k − 1

2k(k − 1).

7. Soit  un r´eel strictement positif. D´eduire de la question pr´ec´edente qu’il existe un entier n₀ ∈ N^∗ tel que pour tout k ≥ n₀,

ln k

k − 1 − 1

k − 1

2k(k − 1)    

≤  k² Puis que, pour tout n ≥ n0,

+∞

X

k=n+1

ln k

k − 1 − 1

k − 1

2k(k − 1)     

≤ 

+∞

X

k=n+1

1 k² 8. D´eterminer l’existence et la valeur de la limite de la suite



H_n− ln n − γ − 1 2n



n≥1

Les questions pr´ec´edentes permettent en fait de montrer que H_n= ln n + γ + 1

2n + o 1 n



Probl` eme 2

On rappelle que pour tout couple (a, b) ∈ R², on a

2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b), 2 sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b) et 2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b)

On rappelle ´egalement la d´efinition des coefficients de Fourier trigonom´etriques : si f est une fonction de p´eriode T , en notant pour tout n ≥ 0

a_n(f ) = 2 T

Z T 0

f (t) cos 2πnt T

 dt et pour tout n ≥ 1,

b_n(f ) = 2 T

Z T 0

f (t) sin 2πnt T

 dt,

la somme de Fourier d’ordre N , S_N(f ), est d´efinie comme suit pour tout r´eel x :

S_n(f )(x) = a0

2 +

N

X

n=1



a_ncos 2πnx T



+ b_nsin 2πnx T



1. Soit K un entier non nul. Expliciter le d´eveloppement en s´erie de Fourier des fonctions φ_K et ψ_K, de p´eriode 2π, d´efinies sur R par φK(t) = cos(Kt) et ψ_K(t) = sin(Kt).

2. On fixe un r´eel α ∈]0, 1[ et on consid`ere la fonction f de p´eriode 2π et d´efinie par : pour tout t ∈ [−π, π[, f (t) = cos(αt).

(a) ´Etudier les propri´et´es de f (continuit´e, d´erivabilit´e, parit´e ´eventuelle, tableau de variation...) et tracer l’allure de sa courbe repr´esentative. Indiquer ´egalement une expression de f (t) pour t ∈ [π, 3π[.

(b) D´eterminer ses coefficients de Fourier trigonom´etriques de f .

(c) Que peut-on affirmer quant `a la convergence point par point de la s´erie de Fourier de f ? Cette convergence est-elle uniforme sur R ? Normale sur R ?

(d) En d´eduire la valeur de la s´erie de terme g´en´eral (1/(α²− n²))_n≥1.

(e) Calculer ´egalement la valeur de la s´erie de terme g´en´eral ((α²+ n²)/(α²− n²)²)_n≥1.

Probl` eme 3

Ce probl`eme comporte deux parties ind´ependantes l’une de l’autre.

Partie A : une minimisation dans L

puis dans L

.

1. Soit X une variable al´eatoire de carr´e int´egrable. On d´efinit une fonction g sur R par : pour tout λ ∈ R, g(λ) = E((X − λ)²).

Montrer que g admet un minimum sur R, expliciter le r´eel λ r´ealisant ce minimum et la valeur minimale de g.

2. Soit X une variable al´eatoire int´egrable de densit´e f , suppos´ee continue sur R. On note F la fonction de r´epartition de X et on d´efinit une fonction h sur R par : pour tout λ ∈ R, h(λ) = E(|X − λ|).

(a) Montrer que, pour tout λ ∈ R, on a

h(λ) = λ (2F (λ) − 1) − 2 Z λ

−∞

xf (x) dx + E(X).

4/5 Tournez SVP

(b) En d´eduire que h est d´erivable, expliciter h⁰ et ´etudier les variations de h.

(c) Justifier par ailleurs l’existence d’un r´eel λ₀ tel que F (λ₀) = 1/2.

(d) Conclure que h est minimale en tout λ tel que F (λ) = 1/2.

3. On reprend la d´etermination d’un r´eel r´ealisant le minimum de E(|X − λ|) dans le cas o`u la variable al´eatoire X est discr`ete.

(a) ´Etudier dans un premier temps le cas d’une variable al´eatoire X prenant exactement deux valeurs not´ees x₁ et x₂, avec x₁ < x₂, et pour laquelle on a donc P(X = x₁) = 1 − P(X = x₂) : expliciter la fonction h, ´etudier ses variations sur chacun des intervalles ] − ∞, x1], [x1, x2] et [x2, +∞[ avant de conclure. Il pourra ˆetre judicieux de distinguer les trois cas P(X = x₁) < P(X = x₂), P(X = x₁) = P(X = x₂) = 0.5 et P(X = x₁) > P(X = x₂).

(b) Poursuivre en ´etudiant le cas o`u la variable al´eatoire X prend trois valeurs distinctes (x_i)_i≤3 avec x₁ < x₂ < x₃.

(c) On se place maintenant dans le cas g´en´eral : la variable al´eatoire X est discr`ete, et ses valeurs prises sont les (xi)i≥1, avec pour tout i, xi < xi+1. On notera pour tout i ≥ 1, p_i = P(X = x_i). Montrer que la fonction h : λ 7→ E(|X − λ|) est affine par morceaux. ´Etudier la suite des pentes de h et en d´eduire les variations de h sur R.

D´eterminer finalement l’ensemble des r´eels λ r´ealisant le minimum de h.

Partie B : Entropie.

Soit f une densit´e de probabilit´e continue par morceaux sur R. On suppose que f ln f est int´egrable et on note H(f ) l’entropie de f , c’est-`a-dire :

H(f ) = − Z +∞

−∞

f (t) ln(f (t)) dt.

1. Si X est une variable al´eatoire de densit´e f , comment peut-on interpr´eter H(f ) en terme d’esp´erance ?

2. Calculer l’entropie de g lorsque g est la densit´e de la loi normale centr´ee r´eduite (g : t 7→

e^−t2/2/√

2π) puis la densit´e de la loi normale d’esp´erance 0 et de variance σ².

3. Calculer l’entropie de ˜g_λ lorsque ˜g_λ est la densit´e de la loi exponentielle de param`etre λ (c’est-`a-dire ˜g_λ : t 7→ λe^−λt1_R⁺(t)).

4. D´emontrer que pour tous r´eels strictement positifs x et y, on a x ln y ≤ x ln x + y − x, et que l’´egalit´e est r´ealis´ee si et seulement si x = y.

5. Soit φ une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b], avec a < b. D´emontrer que Z b

a

φ(t) dt = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ [a, b], φ(x) = 0.

6. Pour cette question et les suivantes, on suppose que f d´esigne la densit´e d’une variable al´eatoire de carr´e int´egrable, d’esp´erance 0 et de variance 1, et que g d´esigne la densit´e de la loi normale centr´ee r´eduite. Indiquer les valeurs des int´egrales

Z +∞

−∞

f (t) dt,

Z +∞

−∞

tf (t) dt et

Z +∞

−∞

t²f (t) dt.

7. Montrer que

− Z +∞

−∞

f (x) ln(g(x)) dx = H(g).

8. Conclure que H(f ) ≤ H(g), et que l’´egalit´e (sous les contraintes ´enonc´ees dans la question pr´ec´edente) n’a lieu que pour f = g.