Examen du 7 janvier 2009–

USTL– PC S3– Math 202 B El´ements de calcul diff´erentiel

Examen du 7 janvier 2009–

Exercice I.On consid`ere la fonctionf d´efinie surR² par f(x, y) = x³+xy−y³

|x|+ 2|y| pour (x, y)6= (0,0) et f(0,0) = 0.

(a) Montrer quef est continue surR².

(b) Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres def en (0,0) (c) Montrer quef n’est pas diff´erentiable en (0,0).

(d) La fonctionf est-elle de classeC¹dans un voisinage de (0,0) ? Justifier votre r´eponse.

Exercice II. SoitV =R×]0,+∞[ etφ:R²→V d´efinie parφ(x, y) = (xe^y, e^y).

1. Montrer queφest unC¹-diff´eomorphisme et d´eterminer son application r´eciproque φ⁻¹(u, v).

2. On cherche les solutionsf de classeC¹ surR²de l’´equation aux d´eriv´ees partielles (1) x∂f

∂x−∂f

∂y =−xe^y. 3. On posef(x, y) =g(u, v) =g(xe^y, e^y) avec (u, v) = (xe^y, e^y).

(a) Trouver l’´equation aux d´eriv´ees partielles (2) que v´erifieg.

(b) R´esoudre l’´equation (2) pourg et en d´eduire les solutionsf de l’´equation (1) .

Exercice III.

1. Calculer les int´egrales suivantes : (a) I₁ =

ZZ

D

(x−y)², o`u D ={(x, y) : 1≤x²+y² ≤2 ; 0≤y≤x}, on dessinera la r´egion D puis on utilisera les coordonn´ees polaires.

(b) I2 = ZZ

(2x−y), o`u est le losange de sommets : A = (0,0), B = (1,2), C = (2,0) et E = (1,−2),

i. directement en utilisant le th´eor`eme de Fubini,

ii. `a l’aide du changement de variables (x=^u+v₄ , y= ^−u+v₂ ).

2. Calculer l’aire de la partie plane ∆ :={ (x, y) :x≥0 , y≥0, xy ≥1 et y≤ −x+ 4}.

Exercice IV.

1. On consid`ere la fonction f d´efinie surR²parf(x, y) =−x²y−xy²+ 3xy.

(a) Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 et 2 def surR². (b) D´eterminer les points critiques def ainsi que leur nature.

2. Soienta,b etc trois r´eels strictement positifs etOABC le t´etrah`edre de l’espaceR³ de sommets : O= (0,0,0), A= (a,0,0), B= (0, b,0) etC= (0,0, c).

On rappelle la formule du volume de ce t´etrah`edre :V ol(OABC) = ^abc₆ .

(a) En interpr´etant le t´etrah`edre OIJ K comme le volume du solide d´elimit´e par les plans coor- donn´ees et le planx+y+z= 1, retrouver `a l’aide d’une int´egrale double :V ol(OIJ K) = ¹₆, o`uI= (1,0,0),J = (0,1,0) etK= (0,0,1).

(b) On suppose que les nombres a, b et c v´erifient a+b+c = 3, calculer le volume V(a, b) du t´etrah`edre OABC correspondant.

(c) Pour quelles valeurs deaetbce volume est maximal et que vaut-il ?