LycéeNewton - PT EM - TD5 - Equations de Maxwell
Electromagnétisme
TD n
o5 : Equations de Maxwell
Ex. 1 Charge d’un condensateur sphérique
Deux sphères métalliques mincesS1 et S2, de centre commun O et de rayonsr1 etr2> r1 sont séparées par un gaz initialement isolant dont les propriétés électriques peuvent être confondues avec celles du vide.
S2est initialement non chargée etS1porte la chargeQ. On suppose qu’à l’instantt= 0, le gaz devient instantanément un conducteur ohmique de conductivitéσ(une telle opération est envisageable en ionisant le gaz par un « flash » de photons de haute énergie).
1. Décrire qualitativement le phénomène qui se produit ainsi que l’état final du système.
2. En analysant les symétries du problème, montrer que le champ magnétiqueB(M, t) ne peut être qu’identiquement nul.
3. Montrer de même que le champ électrique est de la forme : E(M, t) =E(r, t)er
oùer est le vecteur unitaire radial.
4. Éxaminer toutes les équations deMaxwellet montrer que l’une d’elles fournit une équation différentielle vérifiée par la fonction E(r, t) dans tout l’espace entre les sphères. Mettre en évidence un temps de relaxation τ et reconnaître sa signification physique.
5. En intégrant cette équation différentielle, déterminerE(r, t) pourr1< r < r2.
6. Montrer que la densité volumique de chargeρ(r, t) entre les sphères reste nulle tout au long de l’évolution. Que peut-on déduire de la comparaison de ce résultat avec le caractère non nul de densité de courantj(M, t) ? 7. Déterminer égalementE(r, t) dans les régionsr < r1et r > r2.
8. Donner l’expression de la puissance volumique p(r, t) = dP/dτ dissipée par effet Joule dans l’espace entre les sphères. En intégrant cette expression, calculer l’énergieWJ dissipée au cours de l’évolution du système.
9. Calculer les énergiesW0etW1contenues dans l’ensemble du champ électromagnétique, respectivement dans ’état initial du système et dans son état final. Conclure en proposant un bilan énergétique.
Ex. 2 Courant de déplacement
Un condensateur plan est constitué de deux armatures parallèles circulaires d’aire S, d’axe (O,ez), séparées de la distance e. Afin de simplifier les calculs, on néglige tous les effets de bords. En particulier, on fera l’approximation E'0partout à l’extérieur de l’espace interarmatures. L’armature inférieure porte la chargeq(t), qui varie à cause du courant électrique d’intensité iconstante dans le câble. Le régime est suffisamment lent (ARQS électrique) pour que le champ électrique dans l’espace interarmatures ait la même expression
E= q Ceez
qu’en régime stationnaire, oùC=ε0eS est la capacité du condensateur. On noteS0 le disque s’appuyant surC.
1. Appliquer deux fois le théorème d’Ampère généralisé au contour circulaire C entourant le fil et en envisageant deux surfaces : le disqueS0 d’une part, et la surfaceS d’autre part.
2. En comparant les deux résultats obtenus, donner une interprétation du courant de déplacement.
Ex. 3 Energie dans un solénoïde - Vecteur de Poynting
Un solénoïde de longueurl, de rayona, d’axe (O,ez), est constitué d’un enroulement denspires circulaires par unité de longueur. Afin de simplifier les calculs, on fait l’approximation du solénoïde infiniment long et on néglige tous les effets de bords. En particulier, on fera l’approximation B' 0partout à l’extérieur du solénoïde. Les spires du solénoïde sont parcourues par l’intensité variablei(t). On admet que le régime est suffisamment lent pour que le champ magnétique ait la même expression qu’en régime stationnaire. C’est l’approximation des régimes quasi-stationnaires magnétiques (ARQS magnétique).
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1. Rappeler l’expression du champ magnétiqueBdans le solénoïde. En déduire l’expression du champ électriqueE induit.
2. Rappeler l’expression de la densité volumique uem d’énergie électromagnétique. A quelle condition le terme magnétiqueum est-il prépondérant devant le terme électrique ? Interpréter.
3. On suppose la condition um ue satisfaite. Déterminer l’énergie électromagnétique Uem contenue dans le solénoïde. En déduire l’expression du coefficient d’auto-inductanceL.
4. Calculer le vecteur de Poynting en tout point intérieur au solénoïde. En déduire l’expression de la quantité E d’énergie électromagnétique entrant dans le tube formé par le solénoïde lorsque l’intensité passe de 0 à I.
Interpréter.
Ex. 4 Energie dans un condensateur - Vecteur de Poynting
Un condensateur plan est constitué de deux armatures parallèles circulaires de rayona(aireS=πa2), d’axe (O,ez), séparées de la distance e. Afin de simplifier les calculs, on néglige tous les effets de bords. En particulier, on fera l’approximation E '0partout à l’extérieur de l’espace interarmatures. L’armature inférieure porte la charge q(t).
On admet que le régime est suffisamment lent pour que le champ électrique ait la même expression qu’en régime stationnaire. C’est l’approximation des régime quasi-stationnaires électrique (ARQS électrique). Dans ce cas, le champ électrique est uniforme et s’écrit :
E= q Ceez
oùC=ε0eS est la capacité du condensateur.
1. Exprimer le champ magnétiqueBinduit dans l’espace interarmatures.
2. Rappeler l’expression de la densité volumique uem d’énergie électromagnétique. A quelle condition sur la durée typiqueτ de la charge le terme électriqueue est-il prépondérant devant le terme magnétique ? Interpréter.
3. En travaux pratiques, les condensateurs sont-ils utilisés dans des conditions telles queueum?
4. On suppose la conditionueum satisfaite. Déterminer l’énergie électromagnétiqueUemcontenue dans l’espace interarmatures. Vérifier sa cohérence avec l’expressionC= ε0eS de la capacité.
5. Calculer le vecteur de Poynting en tout point intérieur au condensateur. En déduire l’expression de la quantitéE d’énergie électromagnétique entrant dans l’espace interarmatures lorsque la charge passe de 0 àq(t). Interpréter.
Ex. 5 Puissance transportée par un câble coaxial
On considère un câble coaxial dont le milieu vide est limité par une âme métallique cylindrique de rayonaet d’axe Ozet une gaine cylindrique coaxiale et de rayonb. L’étude s’effectue en régime permanent. On cherche des solutions des équations de Maxwell en coordonnées cylindriques sous la forme :
E(r, θ) =f(r)er et B(r, θ) =g(r)eθ
1. Montrer que ces formes sont solutions des équations de Maxwell. Déterminer la forme def et g. On utilisera la formule de la divergence en coordonnées polaires :
∇·a=1 r
∂rar
∂r +1 r
∂aθ
∂θ +∂az
∂z
2. Relierf à la différence de potentielU entre les armatures etg à l’intensitéItransportée par l’armature interne.
3. Calculer le vecteur de Poynting et calculer son flux à travers une section droite de câble.
Ex. 6 Émission radioactive
Une masse radioactive, ponctuelle, initialement neutre, située au point O émet, à partir de l’instant t = 0, des particules αavec une vitessev0 supposée constante et de façon isotrope : à l’instantt la charge électrique située en O est
q(t) =q0Ä
e−t/τ−1ä
1. Calculer le champ électriqueE(M, t) et le champ magnétiqueB(M, t) pourt >0. Commenter.
2. Exprimer la densité volumique de chargeρ(M, t) et la densité volumique de courantj(M, t) pourt >0.
3. Vérifier la compatibilité des résultats obtenus avec la relation locale de conservation de la charge et avec les équations de Maxwell.
4. En déduire la densité volumique d’énergie électromagnétique et la puissance volumique fournie par le champ électromagnétique aux particulesα.
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