Electromagnétisme
TD n
o2 : Potentiel électrostatique
Charges ponctuelles
Ex. 1 Doublet de charges opposées
Deux charges ponctuelles opposées q et −q sont placées respectivement en A et B sur l’axe (Ox), à une distancea de part et d’autre du pointO. On noteE(M) le champ électrostatique etV(M) le potentiel électrostatique créés par ces deux charges en un pointM de l’axe (Ox).
1. Quelle est la direction du champ électrostatiqueE(M) ?
2. Donner l’expression du champ électrostatiqueE(M) en fonction deq,aet x.
3. Donner l’expression du potentiel électrostatiqueV(M) en fonction deq,aetx.
4. Retrouver l’expression du champ électrostatiqueE(M).
5. Tracer l’allure des courbesV(x) et Ex(x).
6. Analyser l’existence de positions d’équilibre pour une charge ponctuelleQmobile sur l’axe (Ox)
Ex. 2 Polygone régulier
Un ensemble de ncharges ponctuelles identiques égales à q est réparti dans le plan (Oxy) sur les n sommets d’un polygone régulier de centre O et de rayon R (sur la figure est représenté le cas d’un hexagone). On noteV(M) le potentiel électrostatique créé en un pointM de l’axe (Oz) par cette distribution.
1. Donner l’expression du potentiel électrostatiqueV(M) en fonction den, q,Ret z.
2. En déduire l’expression du champ électrostatiqueE(M).
3. Tracer l’allure des courbesV(z) et Ez(z).
4. Existe-t-il des positions d’équilibre pour une charge ponctuelleQmobile sur l’axe (Oz) ? Analyser leur stabilité.
Ex. 3 Surface équipotentielle
Une distribution de chargeDest contenue dans un plan (Oxy). Elle est constituée par la charge −q placée au point A(−1,0) et par la charge 2q placée au pointB(+1,0). On noteV(M) le potentiel électrostatique créé en un point M(x, y).
1. Quelle est la relation simple entreAM etBM pour tout pointM de l’équipotentielleV = 0 ?
2. Montrer que l’équipotentielle V = 0 est un cercle C. Déterminer la position de son centre C ainsi que de son rayon.
Ex. 4 Equilibre d’une boule chargée
Deux boules identiquesAetB sont distantes deD= 1 m et fixes. Elles portent initialement une même chargeq. On met en contact avec la bouleA une bouleC identique aux deux autres, portant initialement une charge nulle.
1. Quelle est la chargeq0 acquise par la bouleC?
2. Exprimer puis calculer la distancex0entre la bouleAet la bouleC lorsque cette dernière est dans une position d’équilibre.
3. L’équilibre est-il stable ou instable ?
Ex. 5 Expérience de Rutherford
Une fine feuille d’or (Z = 79) est bombardée par des particules α, c’est-à-dire des noyaux d’hélium. Ces particules sont projetées avec une énergie cinétiqueE0= 10 MeV. On constate qu’une faible partie des particules incidentes est renvoyée dans la direction opposée, à cause de leur « rebond » sur les noyaux d’or.
Données : 1 eV = 1,6×10−19J ;mproton'mneutron'1,6×10−27kg ;e= 1,6×10−19C ;4πε1
0 '9×109N·m2·C−2
En traduisant la conservation de l’énergie mécanique entre la position initiale A des particules α et leur position d’approche minimaleB, exprimer la distance d’approche minimaledau noyau en fonction des données. Calculer d.
Ex. 6 Topographie
On considère un doublet de chargesqA etqB placées respectivement aux pointsA(−1,0) et B(+1,0) du plan (Oxy).
Sur la carte de champ ci-dessus, les lignes courbes correspondent aux équipotentielles (régulièrement réparties en valeurs de potentiel) et les flèches indiquent la direction du champ électrostatique local.
1. Tracer l’allure des lignes de champ.
2. Quels sont les signes des chargesqAet qB?
3. Quelle est en valeur absolue la charge la plus grande ?
4. Sachant que le rapport des valeurs absolues des charges est égal à 2, montrer que l’équipotentielleV = 0 correspond dans le plan (Oxy) à un cercleC dont on déterminera son rayonRet son centreC.
Ex. 7 Cristal ionique
La cohésion d’un cristal ionique est assurée par les interactions électrostatiques entre les ions, la répulsion entre les nuages électroniques imposant une distance minimale entre voisins. La disposition des ions sur le réseau réalise l’énergie potentielle minimale du système appelée énergie réticulaire. Celle-ci est principalement donnée par l’énergie potentielle d’interaction du système constitué par les ions supposés ponctuels.
Déterminer l’énergie molaire réticulaire d’un cristal ionique (A+,B−) dans le cas d’un cristal à une dimension constitué d’une chaîne alternée infinie d’ions monoatomiques A+et B− distants ded= 0,28 nm.
Distributions continues
Ex. 8 Spire chargée
Soit une spire d’axe (Oz), de rayonR, portant la densité linéique de charge uniformelambda
1. Calculer le potentiel électrostatique créé par cette distribution en un pointM de l’axe (Oz). En déduire l’expres- sion du champ électrostatique sur l’axe.
2. Calculer indépendamment le champ électrostatique créé en point de l’axeOzpar cette distribution. Vérifier que vous retrouvez le résultat de la question précédente.
3. Déterminer le maximum du champ électrostatique et représenter l’allure du module E(z) du champ ainsi que celle du potentielV(z).
Ex. 9 Interaction disque - charge ponctuelle
On considère un disque (O, R) chargé en surface avec une densité surfacique σuniformeσ >0. On note (Oz) l’axe perpendiculaire en Oau disque.
1. Déterminer le potentielV en tout point de l’axe (Oz)
2. Soit une charge ponctuelle −q (avec q >0) mobile sur (Oz). Le disque est supposé percé en O de façon à ce que la charge puisse éventuellement le traverser. On suppose que le potentielV calculé précédemment n’est pas modifié par cette ouverture. Calculer en fonction dezl’énergie potentielleEpde la charge. En déduire la position d’équilibre de la charge (on négligera le poids de la particule). Celle-ci est-elle stable ou instable ?
Ex. 10 Lignes bifilaires
1. Un fil rectiligne infini est chargé uniformément. On noteλla densité linéique de charge etOz la direction du fil.
1.a. Calculer le champ électrostatique en tout point de l’espace privé du fil.
1.b. En déduire l’expression du potentiel électrostatique en un pointM.
2. On considère désormais deux fils rectilignes infinis, parallèles à l’axe (Oz), passant parA(a,0,0) et B(−a,0,0), portant respectivement les densités linéiques de charges +λet =−λ, avecλ >0.
On noter1et r2, les distances respectives deM aux deux fils. On choisit Ocomme référence des potentiels : V(O) = 0
On travaillera en coordonnées cartésiennes.
2.a. Discuter des symétries de la distribution, puis calculer le potentiel V(M).
2.b. Donner les équations des surfaces équipotentielles.
2.c. Tracer dans le plan (xOy) l’allure des lignes de champ et de l’intersection des surfaces équipotentielles avec le plan (xOy).
Ex. 11 Noyau d’Uranium
On assimile le noyau de 23592U à une boule de rayon a, de centre O, et de charge Quniformément répartie avec la densité volumique ρ. On admet que la permittivité à l’intérieur, comme à l’extérieur du noyau s’identifie à celle du vide.
1. Que vaut la charge totaleQportée par le noyau 235 92U ?
2. Exprimerρ, la densité volumique de charge, en fonction deQet a.
3. Déterminer la chargeq(r) contenue dans une sphère de centre O, de rayon r≤a, prise au sein du noyau.
4. Déterminer la charge dq contenue entre une sphère de rayonret une sphère de rayonr+ dr, au sein du noyau.
5. Calculer le potentiel au pointO, centre du noyau, en fonction de ε0,Qet a.
Ex. 12 Modèles de Bohr ou de Yukawa
1. L’atome d’Hydrogène dans le modèle planétaire de Bohr est constitué par un proton fixe (q= +eau pointO) et un électron mobile (q0=−esur une trajectoire circulaire de centreOet de rayonr)/
1.a. Déterminer l’énergie mécanique (cinétique + potentielle) de l’électron en fonction de e,ε0et r.
1.b. Bohr postula que le moment cinétique de l’électronLavait son module quantifiéL= nh2π oùnest le nombre quantique principal ethla constante de Planck. En déduire la quantification du rayon de la trajectoire puis le rayon fondamental a0.
1.c. Exprimer l’énergie mécanique de l’atome d’hydrogène.
Données numériques :a0'53 pm ;Ei= 13,6 eV (énergie d’ionisation).
2. L’atome d’hydrogène dans le modèle de Yukawa correspond à un proton fixe (q= +e au pointO) et un nuage électronique à symétrie sphérique de densité volumique :
ρ(r) =− e 4πa20rexp
Å
−r a0
ã
2.a. Vérifier que cette densité volumique traduit la probabilité de présence de l’électron dans tout l’espace.
2.b. Le potentiel créé par cette distribution en un pointM (OM =r) est de la forme : V(r) = e
4πε0rexp Å
−r a0
ã
(potentiel de Yukawa). En déduire le champE en tout pointM(r).
2.c. Donner l’expression du potentiel créé par le seul nuage électronique au point M(r). Quelle est l’énergie potentielle d’une charge q= +eplacée en ce point M(r). En déduire l’énergie potentielle du proton placé au pointO dans le champ du nuage électronique. Conclure.
