Electrocinétique
TD n
o1 : Stabilité des systèmes linéaires
Ex. 1 Filtre ADSL
Un particulier un peu bricoleur, mais tout aussi maladroit, vient de casser son filtre ADSL. Il souhaite du coup en fabriquer un lui-même. Les signaux transmis par une ligne téléphonique utilisent une très large gamme de fréquences divisée en deux parties : les signaux téléphoniques (transmettant la voix) utilisent les fréquences de 0 à 4 kHz ; les signaux informatiques (Internet) utilisent les fréquences de 25 kHz à 2 MHz. Il entreprend la réalisation du circuit suivant :
v
sv
eR R
L L
1. Quel type de filtre faut-il utiliser pour récupérer seulement les signaux téléphoniques ? Les signaux informatiques ? Quelle fréquence de coupurefc peut-on choisir ?
2. Déterminer la nature du filtre grâce à son comportement asymptotique. En déduire pour quels signaux il peut être utilisé.
3. Montrer que la fonction de transfert de ce filtre peut se mettre sous la forme : H(x) = −x2
1 + 3jx−x2 avecx= ω
ω0
etω0 à déterminer en fonction deRet L.
4. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce filtre, puis esquisser l’allure de la courbe réelle de gain en la justifiant.
Ex. 2 Filtres de Wien
On considère le filtre de Wien dont le schéma est représenté sur la figure ci-dessous :
1. Etablir la fonction de transfert du filtre utilisé en sortie ouverte (i2= 0) et la présenter sous la forme :
H = K
1 +jQ(x−x1) (1)
avecx= ωω
0. Expliciterω0,QetK en fonction deRetC. Quelle est la nature du filtre ? 2. Tracer le diagramme de Bode du filtre de Wien. Déterminer sa bande passante.
Ex. 3 Filtrage
On envoie à l’entrée de différents systèmes un signal e(t) dont le spectre est donné sur la figure suivante : En
f(kHz)
0 1 2 3 4 5
Les spectres des signaux de sortie des différents systèmes sont représentés sur les figures suivantes : S1n
f(kHz)
0 1 2 3 4 5
S2n
f(kHz)
0 1 2 3 4 5
S3n
f(kHz)
0 1 2 3 4 5
S4n
f(kHz)
0 1 2 3 4 5
1. Déterminer si les systèmes utilisés sont linéaires ou non.
2. Déterminer les natures des systèmes identifiés comme linéaires ainsi que leurs bandes passantes.
Ex. 4 Influence du générateur et de l’oscilloscope sur l’étude de circuit
RL et RC (d’après Petites Mines 2008)
1. On a branché un GBF délivrant une tension continue E sur une association RLparallèle de telle façon que le régime permanent soit établi. Le GBF est assimilé à un modèle de Thévenin [e(t), Rg] en basse fréquence et [E, Rg] en continu. A l’instant t = 0, on « éteint » le générateur de telle façon que e(t ≥ 0) = 0 (il n’est pas court-circuité).
On note :
— u(t) la tension aux bornes de l’associationRLparallèle ;
— i(t) l’intensité du courant sortant du GBF (convention générateur) ;
— iL(t) l’intensité du courant traversant l’inductanceL.
On supposera cette condition remplie dans la suite, avecR= 4,7 kΩ etC= 22 nF.
4. En l’absence d’oscilloscope branché sur le circuit, déterminer la fonction de transfert complexe en tension (à vide), la sortie étant prise sur le condensateur. De quel filtrage s’agit-il ? Comment définit-on la fréquence de coupure d’un filtre comme celui-ci ? La calculer numériquement.
5. On utilise alors un oscilloscope numérique pour la visualisation du signal aux bornes du condensateur. On lit sur l’entrée coaxiale de l’appareil « 1 MΩ, 25 pF » et on désignera parR0 etC0 les valeurs correspondantes. Cet appareil, branché sur le filtre étudié, induit la représentation suivante du filtre linéaire :
5.a. Déterminer simplement le gain en tension à basse fréquence.
5.b. Exprimer l’admittance complexeY.
5.c. Quelle est la limite du déphasage despar rapport ài(traversantR) à basse fréquence ? 5.d. Déterminer la nouvelle fonction de transfert H0 =se, que l’on présentera sous forme canonique :
H0= H00 1 +jωω0
0
5.e. ComparerH00 et la nouvelle fréquence de coupuref00 aux valeurs de la question 4. Conclure quant à l’utili- sation de l’oscilloscope pour étudier le filtreRC.
5.f. Construire un mode opératoire pour confirmer les valeurs « 1 MΩ,25 pF » à l’aide d’un rhéostat 0−1 MΩ.
Ex. 5 Détermination expérimentale des paramètres d’un passe-bande
On notevsla tension de sortie du filtre. Le filtre est un circuit linéaire dont la fonction de transfert s’écrit :F(jω) = vs
ve
= F0
1 +jQÄω
ω0 −ωω0ä
On se propose de déterminer les caractéristiquesF0,Qetω0 du filtre à partir des oscillogrammes obtenus en régime périodique pour une tension d’entréeverectangulaire pour deux valeurs de fréquence.
On donne la décomposition en série de Fourier deve(t) dans le cas où
— pour 0< t < T /2 :ve(t) =V0;
— pourT /2< t < T :ve(t) = 0 ve(t) =V0 1
2 +2 π
∞
X
k=0
1
2k+ 1sin((2k+ 1)ω1t)
!
avec ω1=2π T
Première expérience
Figure 1 – Oscil- logramme de la pre- mière expérience
— voies 1 et 2 en position DC
— base de temps : 50 micros·div−1
— sensibilités :
— voie 1 (en gras) : 0,5 V·div−1
— voie 2 : 2 V·div−1
— la tensionvsobtenue est quasi-sinusoïdale ;
— si on augmente la fréquence devepar rapport à la va- leur correspondant à cet oscillogramme, on constate que l’amplitude devsdiminue ;
— si, par rapport à cette même fréquence, on diminue légèrement la fréquence de ve, on constate que l’am- plitude devsdiminue également.
Deuxième expérience
Figure 2 – Oscillo- gramme de la seconde expérience
— voies 1 et 2 en position DC
— base de temps : 5 micros·div−1
— sensibilités :
— voie 1 (en gras) : 2 V·div−1
— voie 2 : 0,2 V·div−1
Dans ce qui suit, on ne demande pas de calculs d’incertitudes mais les mesures devront être faites avec soin (tous les résultats doivent être obtenus avec une incertitude relative inférieure à 10 %.
1. Pourquoi, dans chaque expérience, la tension de sortievsne comporte-t-elle pas de composante continue, contrai- rement à la tension d’entréeve?
intégrée).
En déduire la valeur deQ.
Ex. 6 Stabilité d’un circuit électronique
On associe un amplificateur de tension de gain G= 2 à un circuitRLC de la façon suivante :
1. Etablir l’équation différentielle reliantsete.
2. Etudier la stabilité par le régime libre.
3. Donner la forme mathématique des(t)
4. Que se passe-t-il si une légère perturbation écarte la sortie de son régime établi ?
