LycéeNewton - PT EM - TD3 - Théorème de Gauss
Electromagnétisme
TD n
o3 : Théorème de Gauss
Ex. 1 Boule chargée en volume
Une sphère de centreO, de rayonR, est chargée avec une densité volumique uniformeρ >0.
1. Exprimer le champ électrostatiqueEproduit en tout point de l’espace (OM =r).
2. Tracer le grapheE(r).
3. La sphère précédente noté 1 comporte une cavité sphérique, de centre O2, de rayon R2 toute incluse dans la sphère (O1, R1). Exprimer le champEMdans la cavité.
Ex. 2 Champ disruptif
L’air claque à partir d’un champ électrique égal à environ 3000 kV·m−1. Au palais de la découverte, des expériences d’électrostatique sont réalisées avec une sphère chargée jusqu’au potentiel de 10 000 V. Quelle doit être le rayon minimum d’une telle sphère pour que l’air ne claque pas ?
Ex. 3 Cage de Faraday
On considère une sphère creuse chargée en surface de charge totale Q. Calculer le champ électrique à l’intérieu.
Calculer ensuite le potentiel en utilisant le fait que celui-ci est continu à la surface de la sphère.
Ex. 4 Modélisation de l’atmosphère
On observe à la surface de la terre par temps clair, un champ électrostatique vertical descendant Esol de l’ordre de 100 V·m−1 et on a mis en évidence l’existence d’une couche conductrice de l’atmosphère, l’ionosphère, à partir d’une altitude h ' 70 km, ce qui conduit à modéliser de façon simplifiée l’état électrique de l’atmosphère par un condensateur sphérique dont la surface de la Terre et la base de l’ionosphère, appelée électrosphère, sont les arma- tures respectivement négative et positive. On suppose que la surface de la Terre et l’électrosphère sont des surfaces sphériques portant des charges opposés uniformément réparties (respectivement−QetQavecQ >0). On donne le rayon moyen de la Terre :RT '6400 km et on suppose que la permittivité relative de l’air est 1.
1. Déterminer le champ électrique régnant en tout point de l’espace compris entre les armatures. En déduire la valeur deQet la densité surfacique de charge au niveau du sol terrestre.
2. Calculer le potentiel dans la même région. En déduire la différence de potentiel entre la surface de la Terre et l’électrosphère.
3. En déduire la capacité du condensateur ainsi constitué.
4. On envisage désormais le cas plus réaliste où la charge de l’électrosphère est répartie entre les altitudesh1= 60 km eth2= 70 km. Dans l’hypothèse d’une répartition uniforme, déterminer le champ électrique et le potentiel à une distancerdu centre de la Terre compris entreRT etR2=RT +h2.
Ex. 5 Champ au voisinage de l’axe d’un disque chargé
On considère un disque uniformément chargé en surface σ d’axe z. On peut montrer que le champ électrostatique créé par ce disque en un point M de l’axe (z >0) a pour expression :
E= σ 2ε0
ï
1− z
√z2+R2 ò
ez
On s’intéresse maintenant au champ créé par le disque au voisinage de l’axeOz.
1. Que peut on dire de la composante orthoradiale du champ ? Montrer que la norme deE ne dépend que der et dez.
2. En appliquant le théorème de Gauss, établir une relation entre la composante radiale du champEr(r, z),ret la dérivée deE(z) par rapport àz.
3. En déduire l’expression de la composante radiale du champ.
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Ex. 6 Potentiel de Yukawa
Le physicien japonais Hideki Yukawa (Prix Nobel 1949) a postulé une forme de potentiel pour traduire les interactions entre particules dans le noyau atomique. On étudie ici ce potentiel comme s’il s’agissait d’un potentiel électrostatique.
Une distribution de charge à symétrie sphérique crée, à une distancer, un potentiel électrostatique de la forme :
V(r) = 1 4πε0
Q r exp
−r a
Qetaétant des constantes positives.
1. Déterminer les unités deQeta.
2. Déterminer le champ électrique correspondant.
3. En déduire la chargeq(r) contenue dans une sphère de centre O et de rayon r. Déterminerq(r) dans les deux cas extrêmes :rtend vers zéro etrtend vers l’infini. En déduire qualitativement la nature de la distribution de charge et donner une interprétation dea.
4. Déterminer la densité volumique de chargeρ(r).
Ex. 7 Atome d’hydrogène
On s’intéresse au modèle de thomson de l’atome d’hydrogène. Celui-ci est constitué d’un électron supposé ponctuel, de charge négative−eet d’une charge positive +e(représentant le proton) répartie uniformmément en volume dans une sphère de rayona0. C’est le modèle « historique ». Thomson inversait le rôle du proton et celui de l’électron.
1. Déterminer en tout point M de l’espace le champ électrostatique E créé par le proton seul. On distinguera les casr < a0et r > a0.
2. Calculer le potentielV de ce champ électrique en prenant une référence de potentiel à l’infini.
3. Représenter la norme du champ ainsi que le potentiel.
4. Calculer l’énergie potentielleEp(r) de l’électron soumis à un tel champ.
5. Déterminer la position d’équilibre de l’électron et en discuter la stabilité. Le potentiel d’ionisation de l’électron est l’énergie qu’il faut fournir pour arracher un électron à l’atome pris dans son état fondamental. Il s’exprime en électronvolts (1 eV = 1,6×10−19J) et vaut 13,6 eV. En déduire la valeur dea0. On donne : 4πε1
0 '9,0×109SI ete'1,6×10−19C
Ex. 8 Distribution de masse inhomogène
La Terre, sphère de rayonR, de masseM, a sa masse volumique qui varie en fonction de la distancerau centre selon la loi :
ρ(r) =ρ0 Å
1−kr2 R2
ã
avecr=OP. Exprimer le champ de gravitation en tout pointP extérieur ou intérieur au globe terrestre en fonction deG,M,R,retk.
Ex. 9 Energie au repos d’un électron
En relativité, un électron immobile possède une énergie égale à mec2, où me est la masse de l’électron et c la vitesee de la lumière (dans le vide). On se propose dans cette exercice d’interpréter cette énergie comme l’énergie électrostatique de l’électron que l’on modèlise comme une sphère uniformément chargée de rayonreet de charge totale
−e=−1,6×10−19C (on noteraρla densité volumique de charge associée). On rappelle que l’énergie électrostatique d’une distribution de charge est donnée par le travail nécessaire à fournir pour construire cette distribution en amenant progressivement les charges depuis l’infini (là où le potentiel est nul). Ici, on se propose de construire astucieusement la boule par dépôts successifs de couches sphériques : supposons que l’on ait déjà construit une boule de rayonr < re, on raoute alors une couronne sphérique infinitésimale d’épaisseur dr de telle sorte qu’on se retrouve avec une boule d’épaisseurr+ dr. On recommence ensuite afin de construire une boule de rayonr+ 2dret ainsi de suite jusqu’à ce qu’on soit arrivé au rayonre.
1. Montrer que la charge élémentaire contenue dans la couronne sphérique d’épaisseur dr que l’on dépose sur une boule de rayonr(0< r < re) s’écrit dq= 4πr2ρdr.
2. Quelle est la valeur du potentielV(r) créé à la surface d’une boule de rayon ret de densité volumique de charge ρ? En déduire le travail nécessaire pour amener la charge élémentaire dq de l’infini à la surface de la boule de rayonr.
3. En déduire finalement l’énergie électrostatique de l’électron comme une intégrale, que l’on calculera. En déduire l’ordre de grandeur du rayonrede l’électron. Commenter.
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