LycéeNewton - PT EM - TD4 - Magnétostatique
Electromagnétisme
TD n
o4 : Magnétostatique
Une spire circulaire de rayonR d’axe vertical (Oz) parcourue par un courant d’intensité Icréé le champ magnétique en un pointM de son axe :
B(M) =±µ0I
2R sin3αez (1)
avecαl’angle sous lequel est vu le rayon de la spire depuisM. Le sens du champ est donné par la règle de la main droite.
Champ créé par une spire sur son axe :
Ex. 1 Disque de Rowland
Un disque de centreO, de rayonR, et de normaleez, portant une charge surfaciqueσest mis en rotation autour de l’axe ez à vitesse ω= cte.
1. On décompose le disque en « spires » de rayonret d’épaisseur dr. Quel est le courant diqui circule dans cette spire ?
2. Calculer le champ magnétostatique sur l’axez créé par la distribution.
Ex. 2 Courants de convection
Une sphère de centreO et de rayonRporte une charge totaleQuniformément répartie sur sa surface. Elle est mise en rotation autour de l’axe (Oz) à la vitesse angulaire constanteω, de telle sorte qu’on peut considérer avoir affaire, dans le référentiel du laboratoire, à une distribution de courants électriques. On noteB(O) le champ magnétostatique créé au centreO de la sphère.
1. Exprimer l’intensité dI dans la de « spire élémentaire » comprise entre les anglesθ et θ+ dθ en fonction deQ, ω,Ret dθ.
2. En déduire par intégration l’expression du champB(O).
Ex. 3 Etude d’une carte de champ
On représente la carte du champ magnétique créé par trois fils rectilignes infinis parallèles, parcourus par des courants d’intensitéI1,I2 etI3.
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1. Déterminer les positions des fils.
2. Y a-t-il un point de champ nul ?
3. Donner le plus d’information sur les intensitésI1,I2 et I3.
4. Le champ magnétique au pointP vaut 0,2 T. Evaluer sa valeur au pointQ.
Ex. 4 Cylindre parcouru par un courant inhomogène
On considère un câble cylindrique de rayon Ret d’axez parcouru par un courant d’intensitéI réparti de façon non uniforme au sein du câble :
j(r) =J0
Å 1− r2
R2 ã
ez
1. ExprimerJ0 en fonction deI.
2. Calculer le champ magnétique créé par ce câble en tout point de l’espace.
Ex. 5 Plan parcouru par un courant
Entre les deux plansz=−aetz= +aexiste un courant de densité volumique uniformej=j0ex. Calculer le champ magnétique en tout point de l’espace et le représenter graphiquement. On pourra montrer par des arguments de symétrie que le champ magnétique est nul dans le plan z= 0.
Ex. 6 Solénoïde
Soit un solénoïde infini, d’axeOx, comportantnspires par unité de longueur, parcouru par un courantI. On suppose que l’on peut assimiler ces n spires parcourues par le courant I, à un courant de densité volumique j uniforme, circulant entreR1 etR2.
1. Rappeler le théorème d’Ampère, qui relie la circulation du champ magnétique sur un contour fermé au contour traversant ce contour.
2. Supposons, pour cette question que l’on connaît le champ sur l’axeOxd’intensitéB0. En déduire, par le théorème d’Ampère, et en justifiant au préalable l’utilisation du contour représenté sur la figure, l’expression du champB, en fonction deB0et des autres données du problèmes pour r < R1,R1< r < R2 et r > R2.
3. Par un raisonnement physique, concernant la valeur du champ à une distance infinie de l’axe, en déduire la valeur de B0 en fonction des données du problème. Reprendre les formules du champ magnétique obtenues lors de la question précédente, et les exprimer en fonction des données du problèmes.
4. D’après la relation entrejet I, en déduire la valeur du champB0, à l’intérieur du solénoïde infini en fonction de netI.
Ex. 7 Tore circulaire
Un tore est une surface engendrée par la rotation d’une courbe plane fermée autour d’une droite contenue dans ce plan et ne passant pas à l’intérieur de la courbe. On étudie le champ magnétique créé par une distribution de courants présente sur un tore circulaire de rayonR à section circulaire de rayona. On noteO le centre du tore etOzson axe de révolution. La distribution de courants est constituée par un grand nombre de N spires.
1. Quelle est la direction de−→
B en un pointM de l’espace ? 2. De quelles coordonnées dépend le module du champB?
3. Montrer qu’en tout pointM situé à l’extérieur du tore, le champBest nul.
4. Déterminer l’expression de−→
B en un point quelconque à l’intérieur du tore.
Ex. 8 Câble coaxial
On considère un câble coaxial cylindrique de longueur supposée infinie, constitué d’un conducteur central plein de rayon R1 parcouru par un courant uniforme d’intensité I et d’un conducteur périphérique évidé, de rayon intérieur
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R2, de rayon extérieur R3 > R2 > R1 et parcouru par un courant uniforme également d’intensitéI mais circulant en sens inverse par rapport au courant du conducteur central. On noteraez le vecteur unitaire de l’axe commun des deux conducteurs. SoitM un point situé à une distance rde l’axe du câble.
1. Montrer que le champ magnétiqueB créé au pointM est orthoradial.
2. Montrer qu’il peut se mettre sous la formeB=B(r)eθ oùB(r) est une fonction deruniquement.
3. Préciser alors la forme des lignes de champ.
4. En appliquant le théorème d’Ampère à un contour C que l’on précisera, donner l’expression de la composante B(r) du champ magnétique créé au pointM en fonction deµ0,I,r,R1,R2etR3, dans chacun des cas suivant :
• r > R3;
• R2< r < R3;
• R1< r < R2;
• r < R1
puis vérifier la continuité du champB. Tracer le graphe de la fonctionB(r).
Ex. 9 Cavité cylindrique
Considérons un cylindre conducteur d’axe (O1z), de rayon R1 parcouru par un courant de densité volumique de courant uniforme j = jez. On perce ce cylindre d’une cavité d’axe (O2z), et de rayon R2, et on suppose que la distribution volumique de courant en dehors reste inchangée. Déterminer le champ magnétostatique en tout point de la cavité.
Ex. 10 Inductance
L’inductance d’une bobine est définie par la relation φ = LI où φ est le flux au travers de la bobine du champ magnétique créé par elle-même etI le courant qui circule dans la bobine. On considère un solénoïde comportant N spires de rayonR. On se place dans l’approximation du solénoïde infini.
1. Calculer le champ magnétique créé à l’intérieur du solénoïde infini.
2. Calculer le flux au travers d’une spire du solénoïde.
3. En déduire le flux au traversN spires et donne l’expression de l’inductanceL.
Ex. 11 Transformateur torique
On considère un milieu magnétique torique à section carrée, de rayon intérieur R, de rayon extérieur R+a et de hauteura. Deux circuitsC1et C2, parcourus par des courants d’intensitéI1 etI2, sont enroulés sur ce tore, l’un fait N1 tours et l’autreN2tours autour de la section du tore. On admet que le matériau magnétique dont est constituée la bobine canalise les lignes de champ magnétique le long de cercles centrés sur l’axe du tore et que l’intensité du champ magnétique en un pointP intérieur à la bobine ne dépend que de la distancerqui sépare le pointP de l’axe du tore.
1. À l’aide du théorème d’Ampère, calculer le champ B créé par le circuit C1 en tout point de l’intérieur de la bobine.
2. Calculer le flux du champ magnétique à travers une seule spire.
3. En déduire l’expression des coefficients d’auto-inductanceL1etL2, ainsi que du coefficient d’inductance mutuelle M.
4. Montrer que si les circuits ont une résistance nulle, on a : u1=L1
Mu2+M2−L1L2
M
di2
dt 5. En déduire que :
u2
u1 =N2
N1
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