LycéeNewton - PT TMF - TD1 - Statique des fluides
Thermodynamique et mécanique des fluides appliquées aux machines thermiques
TD no1 : Statique des fluides
Ex. 1 Equilibre de trois liquides non miscibles
Un système de trois liquides non miscibles (eau, mercure, alcool) est en équilibre dans un tube en U ouvert à l’air libre. Les hauteurs respectives d’eau et d’alcool ainsi que la distance entre les niveaux de mercure sont indiquées sur la figure ci-contre. On note respectivement ρ1,ρ2 etρ3 les masses volumiques de l’eau, du mercure et de l’alcool.
1. Exprimer ρ3 en fonction de ρ1,ρ2,h1,h2 eth3.
2. Calculer numériquement ρ3 sachant queh1 = 0,80 m, h2 = 0,05 m, h3 = 0,20 m,ρ1= 1,0×103kg.m−3 et ρ2 = 1,36×104kg.m−3.
Ex. 2 Mesure d’une hauteur à l’aide d’un baromètre
Le fluide étudié est l’atmosphère. L’axe (Oz) est vertical, dirigé vers le haut et son origine est prise au niveau du sol. On noteP la pression du fluide,ρ sa masse volumique etgla norme du champ de pesanteur terrestre.
1. On assimile localement l’air à un gaz parfait isotherme à la température T0. Quelle est l’expression de la masse volumique ρ en fonction de la masse molaireM de l’air, de la pressionP, de la constante des gaz parfaits R et de la températureT0?
2. La masse molaire de l’air est M = 29 g.mol−1. Justifier ce nombre.
3. Déduire des questions précédentes l’expression littérale de la pression en fonction de l’altitude z, de M,g,R,T0 etP0 (pression atmosphérique au niveau du sol), en admettant que g reste constant dans l’atmosphère.
4. Le baromètre indique une pression P0 = 1010 mbar au niveau du sol et P = 950 mbar en haut de la tour taiwanaise « Taipei 101 », plus haute tour du monde entre 2004 et 2010.
Données : g= 10 m.s−2,R= 8,31 J·mol−1·K−1etT0= 300 K.
4.a. En déduire que la hauteur H de celle-ci peut s’écrire sous la forme approchée H = kP0P−P
0 où k
est une constante dont on définira l’unité, la valeur et la signification.
4.b. CalculerH.
Ex. 3 Force sur un barrage poids
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Un barrage peut être assimilé à une construction dont la coupe transversale est un triangle de base OA= 8,00 m et d’angle α= 60◦. Sa longueur est L= 200 m (selonOy)
1. En assimilant les matériaux de sa construction à un solide homogène de masse volumiqueµb= 2,00×103kg·m−3, calculer le poids du barrage (g= 9,81 m·s−2).
2. Le barrage permet de réaliser une retenue d’eau comprise entre les plansz= 0 etz=H = 7,00 m. L’eau est assimilée à un liquide homogène incompressible de masse volumique µe = 1,00×103kg·m−3 en équilibre dans un référentiel galiléen. La pression de l’air est Pair = 1,00×105Pa. Donner l’expression de la pressionP en un pointM de cotez situé dans l’eau en fonction dePair,µe,g,H etz.
3. Exprimer la force de pression élémentaire exercée sur une surface élémentaireLdz du barrage.
4. En déduire la résultante des forces de pression qu’exerce l’eau sur le barrage. Calculer sa valeur.
5. Quelle(s) autre(s) force(s) explique(nt) l’équilibre du barrage ?
Ex. 4 Barrage hémicylindrique
Le barrage est constitué par un demi-cylindre à base circulaire de rayon R, de génératrice verticale. L’eau de masse volumiqueρse trouve du côté opposé à la concavité du barrage ; elle a une hauteurH. La pression de l’air P0 est uniforme. On noteg l’intensité du champ de pesanteur.
1. Déterminer la loi de pression P(z) de l’eau, avec Oz verticale descendante, O se trouvant à l’altitude de l’interface eau-air.
2. Calculer la force de pression totale s’exerçant sur un élément de surface élémentaire du barrage.
3. En déduire l’expression de la force de pression totale Fp en en fonction de ρ,g,R etH.
4. Comparer à la force qui s’exercerait sur le barrage s’il était plan, de largeur 2R. Quel est l’intérêt de choisir une forme hémicylindrique pour un barrage ?
Ex. 5 Soulèvement d’une calotte sphérique
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Une demi-sphère de rayonR, de massemest posée sur un plan horizontal. On verse un liquide incompres- sible de masse volumiqueρpar un petit trou percé en son sommet. L’air ambiant est à la pression uniforme P0.
1. Déterminer l’expression P(θ) de la pression du liquide au niveau de la sphère en fonction de P0, ρ,g, h,R etθ,h étant la hauteur de liquide dans la calotte.
2. Calculer la résultante Fdes forces de pression sur la demi-sphère.
3. En déduire à quelles conditions sur h etρ peut-on observer un soulèvement de la demi-sphère.
Ex. 6 Principe d’un densimètre
Un densimètre est un instrument servant à mesurer la densité d’un liquide, c’est-à-dire le rapport de sa masse volumique à celle de l’eau dans les conditions standards. On considère un densimètre en verre constitué d’un réservoir lesté surmonté d’une tige scellée et munie d’une échelle graduée. La tige de forme cylindrique a une sectionSest une longueurL, le densimètre a un volume totalV et une massem. Dans l’eau de masse volumique ρeau, seul le lest est complètement immergé.
1. Le densimètre est plongé dans un liquide de masse volumique ρ. La hauteur de la partie émmergée de la tige est notée h. Montrer que la densitéddu liquide est liée à V,S,L eth. On négligera la poussée d’Archimede due à l’air.
2. Déterminer la plage des densités qui peuvent être mesurées.
Données : V = 10 mL ; S = 8 mm2;L= 25 cm
Ex. 7 Plongée libre
L’eau où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène et incompressible, de masse vo- lumique ρ = 103kg.m−3, en équilibre dans le champ de pesanteur g = 9,81 m.s−2. La surface libre de l’eau (cotez avec un axe (Oz) vertical descendant) est en contact avec l’atmosphère, de pression constante P0= 1,013×105Pa.
1. Déterminer la pression P(z) de l’eau en un point de profondeurz. Tracer le graphe P(z).
2. On assimile l’air contenu dans les poumons du plongeur à un gaz parfait ; cet air est caractérisé par une pression P(z) identique à celle de l’eau à la cotez, un volumeV(z) (capacité pulmonaire) variable (la cage thoracique se déforme sous l’effet de la pression) et une températureT0 constante et indépendante de la profondeur. Calculer la capacité pulmonaire du plongeur à une profondeur zsachant que celui-ci,
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avant de plonger, gonfle ses poumons à leur capacité maximaleVM puis bloque sa respiration. On donne z= 10 m etVM = 7 L.
3. On définit le poids apparent du plongeur comme la résultante de la poussée d’Archimède et des forces de pesanteur. Comment varie le poids apparent lorsque la profondeur augmente ?
Ex. 8 Ballon-sonde au dihydrogène
La troposphère est la partie de l’atmosphère terrestre inférieure à 10 km. On la considère comme un gaz parfait de pression P(z), de température T(z) et de volume massique v(z). On note (Oz) l’axe vertical ascendant. Au sol (z = 0), on a la pression P0 et la température T0. La troposphère est en équilibre thermodynamique et mécanique et obéit à la loi polytropique empirique
P−kT =P0−kT0
avec k = 0,15. On donne : R = 8,31 J·mol−1·K−1,g= 9,81 m·s−2 et on considère que l’atmosphère est à gradient de température T =T0−δz avec δ= kMRairg = 5,1×10−3K·m−1.
1. On considère une quantité constante den moles de gaz parfait à l’altitudez qui évolue dans la tropo- sphère. On note V(z) le volume qu’elle occupe à l’altitudez etV0 son volume au sol. Déterminer la loi
V(z)
V0 en fonction de δ,z,T0 etk.
Un ballon sonde dégonflé et instrumenté a une masse totalemB = 1,2 kg. On gonfle au sol son enveloppe avec n0 moles de dihydrogène. Son volume est alors V0. L’enveloppe reste fermée tant que son volume V(z) < Vmax = 10V0. Lorsque V(z) = Vmax, l’enveloppe se déchire et le ballon retombe au sol. Sur ce ballon s’exerce une force de frottementFfro. La force totale s’exerçant sur le ballon est (F−mBg)ez+Ffro.
2. Quels sont les avantages et les inconvénients du dihydrogène ?
3. En effectuant un bilan des forces, déterminer le termeF en fonction den0,g,MH2 et Mair. 4. Calculer la valeur minimale nmin de n0 pour que le ballon décolle.
5. On admet le modèle de troposphère précédent. Durant l’ascension, on peut considérer que la pression et la température sont quasiment identiques à l’intérieur et à l’extérieur du ballon. Calculerh, altitude maximale atteinte en prenant T0= 293 K. Commenter le résultat
Réponses :
2 ρ3= 800 kg.m−3 4.b H '511 m 4 kFk'1,88×108N 3 Fp =ρgRH2ex
3 ρlim = πR3m3 ;hlim = 3 3m
πρ
2 0.8< d <1
2 V(z= 10 m)'3,6 L 5 h'19,2 km
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