LycéeNewton - PT TMF - TD2 - Description d’un fluide en écoulement
Thermodynamique et mécanique des fluides appliquées aux machines thermiques
TD n
o2 : Description d’un fluide en écoulement
Ex. 1 Ecoulement 2D stationnaire
On étudie l’écoulement décrit par le champ de vitesses suivant :v=−ω0xex+ω0yey 1. Vérifier que cet écoulement est incompressible et irrotationnel.
2. Montrer que le champ de vitesse dérive d’un potentielφ. Donner son expression.
3. Trouver la forme des lignes de courant.
4. Déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule présente en M0(x0, y0) à l’instant t = 0. Vérifier qu’elle coïncide avec une ligne de courant.
Ex. 2 Ecoulement irrotationnel
Un fluide parfait incompressible s’écoule à l’intérieur d’un tuyau d’axe vertical Oz, de section non uniforme. En régime permanent, le champ des vitesse au pointM du fluide, de coordonnées cylindriques (r, θ, z) est de la forme :
v= 2Krer+K0zez
1. Exprimer la constante K0 en fonction de la constante positive K. Dans la suite du problème, les résultats ne devront pas faire intervenir la constanteK0, mais seulement la constanteK.
2. Montrer que l’écoulement considéré est irrotationnel.
3. Déterminer le potentiel des vitesseϕ(r, z).
4. Déterminer l’équation des lignes de courant et tracer leur allure.
Ex. 3 Ecoulement autour d’un cylindre
Loin d’un cylindre d’axeOzet de rayona, l’écoulement d’un fluide est uniforme :v=v0ex. En présence du cylindre, l’écoulement est permanent, incompressible et irrotationnel. Un point M du fluide est repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
1. Montrer que le champ des vitesses du fluide, de composantes radiale et orthoradiale enM : vr=
Å A−B
r2 ã
cosθ
vθ=− Å
A+B r2
ã sinθ peut décrire l’écoulement étudié.
2. Calculer les constantesAet B.
3. Calculer le potentielϕ(r, θ) des vitesses.
4. Déterminer l’équation des lignes de courants de cet écoulement.
Ex. 4 Ecoulement autour d’un cylindre en rotation
Soit l’écoulementE irrotationnel permanent d’un fluide incompressible de masse volumiqueρautour d’un cylindre, d’axe Oz et de rayon R, qui tourne autour deOz à la vitesse angulaire Ω= Ωez; le fluide a, très loin du cylindre, la vitesse v0 = v0ex, de direction perpendiculaire à Oz. Un point M du fluide sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
L’écoulementE peut être considéré comme la superpoisition de deux écoulements :
— l’écoulement E1, de potentiel de vitessesϕ1=Ä
1 +Rr22ä
rv0cosθ, correspondant au cylindre fixe dans le fluide en écoulement uniforme de vitessev0=v0ex à l’infini ;
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— l’écoulement E2, de potentiel de vitesses ϕ2 = −kθ, correspondant au cylindre tournant (Ω = Ωez) dans le fluide au repos.
1. Déterminer le champ des vitessesvdu fluide enM(r, θ, z).
2. Le modèle du fluide parfait permet-il de rendre compte de l’effet de la rotation du cylindre sur l’écoulement du fluide ? A quelle propriété du fluide doit-on faire appel ? Donner les nouvelles expressions devr etvθ.
3. En se plaçant aux points particuliersθ=π2 etθ=−π2, donner, en le justifiant avec précision, le signe dek.
4. Déterminer, suivant les valeurs d’un paramètre à déterminer, le nombre de points de vitesse nulle et leur(s) position(s) dans un plan de section droite du cylindre.
Ex. 5 Tornade
Une tornade assimilée à un écoulement parfait, permanent, incompressible de l’air, de masse volumiqueρ= 1,3 kg·m−3, est caractérisée par le vecteur tourbillon Ω = Ωez, supposé uniforme à l’intérieur de l’œil de la tornade, cylindre d’axe Ozet de rayona= 50 m, et nul à l’extérieur de l’œil.
1. Exprimer la loi des vitessesv(r) à l’intérieur et à l’extérieur de l’œil. Graphe dev(r) ? 2. Dessiner la carte des lignes de champ.
3. La vitesse maximale de la tornade est vmax = 180 km/h. Justifier le caractère incompressible de l’écoulement.
Calculer Ω.
On s’intéresse maintenant au cas limite d’un vortex, tornade telle quea→0 et Ω→ ∞mais en gardant le rapport Ωa2 constant :
Ωa2= Γ 2π 4. Montrer que le champ dérive d’un potentielφ. Le calculer.
5. Montrer qu’un vortex brise l’invariance par rotation d’angleθ.
Ex. 6 Ecoulement par une source ou un puits
Dans le plan (O, x, y), on considère un écoulement irrotationnel généré par une source ou un puit placé enO. On se place en coordonnées polaire d’axe (Oz). Le potentiel des vitesses est pris de la forme :
ϕ= Q 2πlnr
a
1. Donner l’expression de la vitessev. Préciser le signe deQsuivant que le point Oest une source ou un puit.
2. Donner la forme des équipotentielles et les lignes de courant. Tracer leur allure dans le cas oùQest positif.
3. L’écoulement est-il incompressible ?
4. L’écoulement a lieu dans le plan (O, x, y) sur une épaisseure. La masse volumique du fluide estρ. Déterminer le débit volumique et le débit massique à travers un cylindre d’axe (Oz) de rayon d’épaisseur e. Commenter.
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Ex. 7 Glissement sur un plan incliné
Un bloc parallélépipédique de masse M = 1 kg glisse sur un plan incliné d’un angle α= 10◦ par rapport au plan horizontal. Ce plan est recouvert d’un film d’huile d’épaisseur e = 5×10−6m. On suppose que le profil de vitesse du film de fluide entre le bloc et le plan est linéaire. La surface de contact est S= 0,02 m2 et la viscosité de l’huile η= 8×10−3N·s·m−2.
1. Déterminer la vitesse limite de glissement du bloc. On prendrag= 9,8 m·s−2.
Ex. 8 Entraînement d’un disque par viscosité
Deux disques identiques de rayonR ont même axeOzet sont à la distanceeR l’un de l’autre.
Un fluide incompressible de coefficient de viscositéηrempli l’intervalle entre les deux disques. Le disque inférieur est fixe, le disque supérieur est animé d’un mouvement de rotation de vitesse angulaireω autour de l’axeOz:
On s’intéresse ici au régime laminaire permanent et on admet que le champ de vitesse dans le fluide est de la forme : v=vθ(r, z)eθ
avec :
∂vθ
∂r = cte (les notations sont celles des coordonnées cylindriques)
1. Vérifier que ce champ de vitesse est compatible avec l’incompressibilité du fluide.
2. Explicitervθ(r, z).
3. Par analogie avec la force de viscosité dans le cas d’un écoulement unidimensionnel, donner l’expression de la force dF qui s’exerce sur un élément de surface dS du disque inférieur ; calculer le moment de cette force par rapport à l’axeOz.
4. Calculer finalement le moment total par rapport àOz des forces de viscosité s’exerçant sur le disque inférieur.
Quel est, qualitativement, l’effet de ce moment ?
Ex. 9 Chute d’un grêlon
Un grêlon sphérique de masse m, de rayon r = 3 mm et de masse volumique ρglace = 0,9×103kg·m−3 tombe verticalement, l’espace étant rapporté à l’axe (Oz) vertical ascendant. Le champ de pesanteur est uniforme g = 9,8 m·s−2 dirigé suivant la verticale descendante, l’air a une viscositéη= 2×10−5PI.
1. L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaireM = 29 g·mol−1, de pressionP = 1,0 bar et de température T = 273 K. Calculer sa masse volumiqueρair. Que dire alors de la poussée d’Archimèdes’exerçant sur le grêlon en comparaison de son propre poids.
2. On cherche la vitesse atteinte par le grêlon en régime permanent. On se place dans le cadre d’une hypothèse de
« vitesses faibles » où l’écoulement est laminaire. La force de traînée vérifie la formule deStokes : F= 6πηrvez
oùvreprésente la norme de la vitesse. Déterminer la vitesse limite dans le cadre de cette modélisation.
3. Calculer le nombre de Reynolds en prenant pour dimension caractéristique de l’écoulement le diamètre du grêlon 2r. Que dire alors de l’hypothèse d’écoulement laminaire ?
4. Dans le cadre d’une hypothèse de « grandes vitesses » où l’écoulement est turbulent, la force de traînée est quadratique en vitesse :
F=KρairSv2ez
avec S = πr2 et K = 0,23. Déterminer la vitesse limite dans le cadre de ce modèle. Calculer le nombre de Reynolds, commenter.
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5. Dans le cas de vitesses faibles, exprimer le nombre de Reynolds Re en fonction de ρair, ρglace, η, g et r. En déduire l’ordre de grandeur du rayon maximal rmax du grêlon pour que la formule deStokes soit valable. On pourra prendre pour critèreReinférieur à 1. Commenter.
6. Dans le cas de vitesses grandes, exprimer de même le nombre deReynoldsen fonction de ρair,ρglace,η, K, g etr. En déduire l’ordre de grandeur du rayon minimalrmin du grêlon pour que cette hypothèse soit valable. On pourra prendre pour critèreRe>2000. Commenter.
Réponses :
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