− exe Ex. Ex. Ex. Ex. 26p381 26p381 26p381 26p381

Terminale spécialité mathématiques − 2020 / 21 A

− exe Ex. Ex. Ex. Ex. 26p381 26p381 26p381 26p381

a) Il faut dériver F . Or F ( x ) = uv avec



  u ⁼ x

u ' = 2 x ^et    ^{v = ln( x )}

v ' = ¹ x . Donc F '( x ) = u ' v ⁺ uv ' = 2 x ln( x ) + x

^{× 1}

x ^{= 2} x ln( x ) + x = x (2ln( x ) + 1) = f ( x ).

Ainsi F est une primitive de f .

b) Par conséquent les primitives de f sont les fonctions F ( x ) = x

ln( x ) + k . c) On cherche la primitive G ( x ) = x

ln( x ) + k telle que G ( e ) = 1

ñ e

ln( e ) + k = 1 ñ e

^× 1 + k = 1 ñ e

⁺ k = 1 ñ k = 1 − e

.

Donc G ( x ) = x

ln( x ) + 1 − e

.

Ex. 27p381 Ex. 27p381 Ex. 27p381 Ex. 27p381

F '( x ) = 3 × 4 x

^{− 2}

5 × 2 x ⁺ 1 = 12 x

^{− 4}

5 x ⁺ 1 = f ( x ).

Donc F est une primitive de f .

Les primitives de f sont donc les fonctions F ( x ) = 3 x

^{− 2}

5 x

⁺ x ⁺ k . Mais F (1) = 0

ñ 3 × 1

− 2

5 × 1

+ 1 + k = 0 ñ 3 − 2

5 + 1 + k = 0 ñ 18

5 + k = 0

ñ k = - 18 5

Donc F ( x ) = 3 x

^{− 2}

5 x

⁺ x ^{− 18} 5 .

Ex. 28p381 Ex. 28p381 Ex. 28p381 Ex. 28p381

On sait que u a pour dérivée u ' 2 u ^. Donc F '( x ) = 2 x

2 x

⁺ 1 = x

x

⁺ 1 = f ( x ), et F est une primitive de f . Les primitives de f sont donc les fonctions F ( x ) = x

⁺ 1 + k . Mais F ( - 1) = 0

ñ ( - 1)

+ 1 + k = 0 ñ 2 + k = 0

ñ k = - 2 .

Donc F ( x ) = x

⁺ 1 − 2 .

Ex. 30p381 Ex. 30p381 Ex. 30p381 Ex. 30p381

a) Notons ces trois fonctions f

( x ) = ln(5 x ), f

( x ) = 1 + ln( x ) et f

( x ) = 3 − ln

 



  e  x . f

( x ) = ln( u ) avec



  u ⁼ 5 x

u ' = 5 donc f

'( x ) = u ' u ⁼

5 5 x ⁼

1 x ^. f

'( x ) = 0 + 1

x ⁼ 1 x ^.

f

( x ) = 3 − (ln( e ) − ln( x )) = 3 − ln( e ) + ln( x ) = 3 − 1 + ln( x ) = 2 + ln( x ) donc f

'( x ) = 0 + 1 x ⁼

1 x ^. Ces trois fonctions ont la même dérivée, 1

x , donc elles sont toutes les trois une primitive de la même fonction : f ( x ) = 1

x ^.

b) Les primitives de f sont les fonctions F ( x ) = ln( x ) + k . Mais F ( e ) = 0

ñ ln( e ) + k = 0 ñ 1 + k = 0 ñ k = - 1

Donc F ( x ) = ln( x ) − 1.

Ex. 31p381 Ex. 31p381 Ex. 31p381 Ex. 31p381

a) F ( x ) − G ( x )

= 8 − e

e

⁺ 2 −

 



  - 5 e

 e

⁺ 2 + 3

= 8 − e

e

⁺ 2 −

 

 

 

  - 5 e

e

⁺ 2 +

 

 

 

  3 ( ^e

^{+ 2} )

e

⁺ 2

= 8 − e

e

⁺ 2 + 5 e

e

⁺ 2 − 3 e

⁺ 6 e

⁺ 2

= 8 − e

⁺ 5 e

⁻ 3 e

⁻ 6 e

⁺ 2

= e

⁺ 2 e

⁺ 2

= 1

b) F et G ne diffèrent que d'une constante (en effet : F ⁻ G = 1 ou F = G ⁺ 1).

Donc F et G ont la même dérivée : F ' = G '.

Donc F et G sont deux primitives d'une même fonction (la dérivée qu'elles ont en commun).

Ex. 34p382 Ex. 34p382 Ex. 34p382 Ex. 34p382

Le sens de variation d'une fonction est donné par le signe de sa dérivée.

Notons F une primitive de f .

Les variations de F dépendent donc du signe de F '.

Mais puisque F est une primitive de f cela signifie que F ' = f .

Ainsi :

x -2 3 5 F '( x ) = f ( x ) + 0 -

F ( x )

supplément supplément supplément supplément

Déterminer les primitives demandées, vérifiant la condition initiale.

• Primitive F de f ( x ) = 10 x

⁻ 6 x

⁺ 9 x

⁻ 4 x ⁺ 1 telle que F (1) = 3 f ( x ) = 10 × x

⁻ 6 × x

⁺ 9 × x

⁻ 4 × x ⁺ 1

Donc F ( x ) = 10 × 1

5 x

⁻ 6 × 1

4 x

⁺ 9 × 1

3 x

⁻ 4 × 1

2 x

⁺ x ⁺ k = 2 x

^{− 3}

2 x

⁺ 3 x

⁻ 2 x

⁺ x ⁺ k F (1) = 3 ñ 2 × 1

− 3

2 × 1

+ 3 × 1

− 2 × 1

+ 1 + k = 3 ñ 5

2 + k = 3 ñ k = 3 − 5 2 = 1

2 Donc F ( x ) = 2 x

^{− 3}

2 x

⁺ 3 x

⁻ 2 x

⁺ x ^{+ 1} 2

• Primitive G de g ( x ) = 3 x

⁻

4

x

telle que G (2) = 0

g ( x ) = 3 × 1 x

^{− 4 ×}

1 x

Donc G ( x ) = 3 ×

 



  - ¹ 

x − 4 ×

 



  - ¹ 

2 x

+ k = - 3 x ⁺

2 x

⁺ k G (2) = 0 ñ - 3

2 + 2

2

+ k = 0 ñ - 1 + k = 0 ñ k = 1 Donc G ( x ) = - 3

x ⁺ 2 x

^{+ 1}

• Primitive H de h ( x ) = 2

x ^{+ 3} e

telle que H (1) = e

h ( x ) = 2 × 1

x ^{+ 3 ×} e

Donc H ( x ) = 2 × ln( x ) + 3 × e

⁺ k = 2ln( x ) + 3 e

⁺ k

H (1) = e ^ñ 2ln(1) + 3 e

⁺ k = e ñ 3 e ⁺ k = e ^ñ k = e ⁻ 3e = - 2e

Donc H ( x ) = 2ln( x ) + 3 e

⁻ 2

• Primitive K de k ( x ) = 5 x

+ 5

x telle que K (1) = - 1

k ( x ) = 5 × 1 x

+ 5 × 1 x

Donc K ( x ) = 5 × 2 x ⁺ 5 × ln( x ) + k = 10 x ⁺ 5ln( x ) + k

K (1) = - 1 ñ 10 1 + 5ln(1) + k = - 1 ñ 10 + k = - 1 ñ k = - 1 − 10 = - 11 Donc K ( x ) = 10 x ⁺ 5ln( x ) − 11

• Primitive L de l ( x ) = e

⁺ e

2 telle que L (0) = 3

l ( x ) = 1 2 e

^{+ 1}

2 e

Donc L ( x ) = 1

2 e

^{+ 1}

2 × ( e

) + k = e

⁻ e

2 + k

En effet e

ayant pour dérivée u ' e

, e

a pour dérivée – e

(avec u = - x et u ' = - 1) et donc – e

a bien pour dérivée e

.

L (0) = 3 ñ e

⁻ e

2 + k = 3 ñ k = 3 Donc L ( x ) = e

⁻ e

2 + 3

• Primitive M de m ( x ) = e

⁻ e

telle que M (0) = 0

En prenant ici u = 2 x (et u ' = 2) on voit que e

a pour dérivée 2 e

, donc 1

2 e

a pour dérivée e

.

De même (avec u = - 2 x et u ' = - 2), e

a pour dérivée - 2 e

et donc - 1

2 e

a pour dérivée e

.

Ainsi M ( x ) = 1 2 e

⁻

 



  - ¹ 

2 e

⁺ k = 1

2 e

^{+ 1}

2 e

⁺ k M (0) = 0 ñ 1

2 e

^{+ 1}

2 e

⁺ k = 0 ñ 1 2 + 1

2 + k = 0 ñ 1 + k = 0 ñ k = - 1 Donc M ( x ) = 1

2 e

^{+ 1}

2 e

⁻ 1