Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122

Première spécialité mathématiques − 2020 / 21 A

− exe

Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122

k ( x ) = x ^{3 −} 9 x .

On suit le protocole : 1) k '( x ) = 3 x ^{2 −} 9

2) k '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 108 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 108

6 = - 3 et x 2 = 108

6 = 3 . De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ^{2 −} 9 a les branches vers le haut et ainsi : 3)

x −o - 3 3 +o k ’( x ) + 0 − 0 +

k ( x )

6 3

- 6 3

où k ( 3 ) = ( ) ^{3 3 − 9 3 = 3 3 − 9 3 = - 6 3}

et k ( - 3 ) = ( ) ^{- 3 3 − 9 × ( - 3 ) = - 3 3 + 9 3 = 6 3 .}

Ex. 9p 122 Ex. 9p 122 Ex. 9p 122 Ex. 9p 122

m ( x ) = - x ^{3 +} 12 x .

On suit le protocole :

1) m '( x ) = - 3 x ^{2 +} 12

2) m '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 0 − 144

- 6 = 2 et x 2 = - 0 + 144

- 6 = - 2.

De plus a = - 3 < 0 donc la parabole du trinôme - 3 x ^{2 +} 12 a les branches vers le bas et ainsi : 3)

x −o - 2 2 +o m ’( x ) - 0 + 0 -

m ( x )

16 - 16

où m (2) = - 2 ³ + 12 × 2 = - 8 + 24 = 16 et m ( - 2) = - ( - 2) ³ + 12 × ( - 2) = 8 − 24 = - 16

Ex. 10p 122 Ex. 10p 122 Ex. 10p 122 Ex. 10p 122

g ( x ) = x ^{3 −} 3 x ^{2 −} 9 x ⁺ 5

On suit le protocole : 1) g '( x ) = 3 x ^{2 −} 6 x ⁻ 9

2) g '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = 6 − 144

6 = - 1 et x 2 = 6 + 144

6 = 3.

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ^{2 −} 6 x ⁻ 9 a les branches vers le haut et ainsi:

3)

x −o - 1 3 +o g ’( x ) + 0 − 0 +

g ( x )

10 - 22

où g ( - 1) = ( - 1) ³ − 3 × ( - 1) ² − 9 × ( - 1) + 5 = 10 et g (3) = 3 ³ − 3 × 3 ² - 9 × 3 + 5 = - 22

Ainsi g admet 10 pour maximum local en x = - 1 et - 22 pour minimum local en x = 3.

Ex. 11 Ex. 11p 122 Ex. 11 Ex. 11 p 122 p 122 p 122

h ( x ) = - 1

3 x ^{3 +} 4 x ^{2 −} 7 x

On suit le protocole :

1) h '( x ) = - 1

3 × 3 x ^{2 +} 4 × 2 x ⁻ 7 = - x ^{2 +} 8 x ⁻ 7

2) h '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 36 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 8 − 36

- 2 = 7 et x 2 = - 8 + 36 - 2 = 1.

De plus a = - 1 < 0 donc la parabole du trinôme - x ^{2 +} 8 x ⁻ 7 a les branches vers le bas et ainsi :

3)

x −o 1 7 +o h ’( x ) - 0 + 0 -

h ( x )

98

3

- 10 3

où h (1) = - 1

3 × 1 ³ + 4 × 1 ² − 7 × 1 = - 1

3 + 4 − 7 = - 1

3 − 3 = - 10 3 et h (7) = - 1

3 × 7 ³ + 4 × 7 ² − 7 × 7 = - 1

3 × 343 + 196 − 49 = - 343

3 + 147 = - 343

3 + 441

3 = 98 3 .

Ainsi h admet - 10

3 pour minimum local en x = 1 et 98

3 pour maximum local en x = 7.

Exercice Exercice Exercice Exercice

f ( x ) = 2 x ^{3 +} 3 x ^{2 +} 12 x ⁺ 1 sur R.

On suit le protocole :

1) f '( x ) = 2 × 3 x ^{2 +} 3 × 2 x ⁺ 12 = 6 x ^{2 +} 6 x ⁺ 12

2) f '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = - 252 < 0 donc il n'y a pas de racine.

De plus a = 6 > 0 donc la parabole du trinôme 6 x ^{2 +} 6 x ⁺ 12 a les branches vers le haut et ainsi:

3)

x −o +o f ’( x ) +

f ( x )

Exercice Exercice Exercice Exercice

f ( x ) = x ^{3 −} 6 x ^{2 +} 12 x ⁻ 4 sur R.

On suit le protocole :

1) f '( x ) = 3 x ^{2 −} 6 × 2 x ⁺ 12 = 3 x ^{2 −} 12 x ⁺ 12

2) f '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 0 < 0 donc il y a une racine : x 0 = - b 2 a ^{= -}

- 12 6 = 2.

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ^{2 −} 12 x ⁺ 12 a les branches vers le haut et

ainsi:

4)

x −o 2 +o f ’( x ) + 0 +

f ( x ) 4

où f (2) = 2 ³ − 6 × 2 ² + 12 × 2 − 4 = 4

Ex. 22p 124 Ex. 22p 124 Ex. 22p 124 Ex. 22p 124

D'après le théorème du cours, partout où f est croissante, alors f '( x ) Ã 0 et inversement partout où f est décroissante, alors f '( x ) Â 0.

Donc :

x −5 -3 2 3 6 f ’( x ) - 0 + 0 - 0 +

f ( x )

3 2 3,5

0 1

D'autre part en chaque tangente horizontale, le nombre dérivé est nul.

Ex. 23 Ex. 23p 124 Ex. 23 Ex. 23 p 124 p 124 p 124

Même principe.

La courbe de f possède deux tangentes horizontales en x = - 1 et en x = 2 donc f '( x ) s'annule deux fois.

x −3 -1 2 4 g ’( x ) + 0 − 0 +

g ( x )

Ex. 27p 125 Ex. 27p 125 Ex. 27p 125 Ex. 27p 125

On procède comme dans les exercices 22 et 23 : on dresse les tableaux de variations des fonctions f (courbe 1), g (courbe 2) et h (courbe 3) et on en déduit le signes leurs dérivées f '( x ), g '( x ) et h '( x ).

On regarde alors quelle courbe parmi A , B et C correspond à chacune des dérivées en observant les signes des fonctions sur les courbes et alors :

• f (courbe 1) correspond à une dérivée f '( x ) donnée par la courbe C

• g (courbe 2) correspond à une dérivée g '( x ) donnée par la courbe A

• h (courbe 3) correspond à une dérivée h '( x ) donnée par la courbe B

Ex. 29 Ex. 29p 125 Ex. 29 Ex. 29 p 125 p 125 p 125

a) f ( x ) = u

v ^{avec  }

 u ⁼ x ⁺ 1 u ' = 1 et



  v ⁼ 2 x ⁻ 6 v ' = 2 Donc f '( x ) = u ' v ⁻ uv '

v ^{2 =}

1(2 x ⁻ 6) − 2( x ⁺ 1)

(2 x ⁻ 6) ² = 2 x ⁻ 6 − 2 x ⁻ 2

(2 x ⁻ 6) ² = - 8 (2 x ⁻ 6) ² .

b) On en déduit que f '( x ) < 0 pout tout x différent de 3 car - 8 < 0 et (2 x ⁻ 6) ² > 0.

c) Ainsi :

x −o 3 +o f ’( x ) - 0 -

f ( x )