Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122

Première spécialité mathématiques − 2020 / 21 A

− exe

Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122 Ex. 8p 122

k ( x ) = x ^{3 −} 9 x .

On suit le protocole : 1) k '( x ) = 3 x ^{2 −} 9

2) k '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 108 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 108

6 = - 3 et x 2 = 108

6 = 3 . De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ^{2 −} 9 a les branches vers le haut et ainsi : 3)

x −o - 3 3 +o k ’( x ) + 0 − 0 +

k ( x )

6 3

- 6 3

où k ( 3 ) = ( ) ^{3 3 − 9 3 = 3 3 − 9 3 = - 6 3}

et k ( - 3 ) = ( ) ^{- 3 3 − 9 × ( - 3 ) = - 3 3 + 9 3 = 6 3 .}

Ex. 9p 122 Ex. 9p 122 Ex. 9p 122 Ex. 9p 122

m ( x ) = - x ^{3 +} 12 x .

On suit le protocole :

1) m '( x ) = - 3 x ^{2 +} 12

2) m '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 0 − 144

- 6 = 2 et x 2 = - 0 + 144

- 6 = - 2.

De plus a = - 3 < 0 donc la parabole du trinôme - 3 x ^{2 +} 12 a les branches vers le bas et ainsi : 3)

x −o - 2 2 +o m ’( x ) - 0 + 0 -

m ( x )

16 - 16

où m (2) = - 2 ³ + 12 × 2 = - 8 + 24 = 16 et m ( - 2) = - ( - 2) ³ + 12 × ( - 2) = 8 − 24 = - 16

Ex. 10p 122 Ex. 10p 122 Ex. 10p 122 Ex. 10p 122

g ( x ) = x ^{3 −} 3 x ^{2 −} 9 x ⁺ 5

On suit le protocole : 1) g '( x ) = 3 x ^{2 −} 6 x ⁻ 9

2) g '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 144 > 0 donc il y a deux racines x 1 = 6 − 144

6 = - 1 et x 2 = 6 + 144

6 = 3.

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ^{2 −} 6 x ⁻ 9 a les branches vers le haut et ainsi:

3)

x −o - 1 3 +o g ’( x ) + 0 − 0 +

g ( x )

10 - 22

où g ( - 1) = ( - 1) ³ − 3 × ( - 1) ² − 9 × ( - 1) + 5 = 10 et g (3) = 3 ³ − 3 × 3 ² - 9 × 3 + 5 = - 22

Ainsi g admet 10 pour maximum local en x = - 1 et - 22 pour minimum local en x = 3.

Ex. 11 Ex. 11p 122 Ex. 11 Ex. 11 p 122 p 122 p 122

h ( x ) = - 1

3 x ^{3 +} 4 x ^{2 −} 7 x

On suit le protocole :

1) h '( x ) = - 1

3 × 3 x ^{2 +} 4 × 2 x ⁻ 7 = - x ^{2 +} 8 x ⁻ 7

2) h '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 36 > 0 donc il y a deux racines x 1 = - 8 − 36

- 2 = 7 et x 2 = - 8 + 36 - 2 = 1.

De plus a = - 1 < 0 donc la parabole du trinôme - x ^{2 +} 8 x ⁻ 7 a les branches vers le bas et ainsi :

3)

x −o 1 7 +o h ’( x ) - 0 + 0 -

h ( x )

98

3

- 10 3

où h (1) = - 1

3 × 1 ³ + 4 × 1 ² − 7 × 1 = - 1

3 + 4 − 7 = - 1

3 − 3 = - 10 3 et h (7) = - 1

3 × 7 ³ + 4 × 7 ² − 7 × 7 = - 1

3 × 343 + 196 − 49 = - 343

3 + 147 = - 343

3 + 441

3 = 98 3 .

Ainsi h admet - 10

3 pour minimum local en x = 1 et 98

3 pour maximum local en x = 7.

Exercice Exercice Exercice Exercice

f ( x ) = 2 x ^{3 +} 3 x ^{2 +} 12 x ⁺ 1 sur R.

On suit le protocole :

1) f '( x ) = 2 × 3 x ^{2 +} 3 × 2 x ⁺ 12 = 6 x ^{2 +} 6 x ⁺ 12

2) f '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = - 252 < 0 donc il n'y a pas de racine.

De plus a = 6 > 0 donc la parabole du trinôme 6 x ^{2 +} 6 x ⁺ 12 a les branches vers le haut et ainsi:

3)

x −o +o f ’( x ) +

f ( x )

Exercice Exercice Exercice Exercice

f ( x ) = x ^{3 −} 6 x ^{2 +} 12 x ⁻ 4 sur R.

On suit le protocole :

1) f '( x ) = 3 x ^{2 −} 6 × 2 x ⁺ 12 = 3 x ^{2 −} 12 x ⁺ 12

2) f '( x ) est un trinôme du second degré.

∆ = b ^{2 −} 4 ac = 0 < 0 donc il y a une racine : x 0 = - b 2 a ^{= -}

- 12 6 = 2.

De plus a = 3 > 0 donc la parabole du trinôme 3 x ^{2 −} 12 x ⁺ 12 a les branches vers le haut et

ainsi:

4)

x −o 2 +o f ’( x ) + 0 +

f ( x ) 4

où f (2) = 2 ³ − 6 × 2 ² + 12 × 2 − 4 = 4

Ex. 22p 1 Ex. 22p 124 Ex. 22p 1 Ex. 22p 1 24 24 24

D'après le théorème du cours, partout où f est croissante, alors f '( x ) Ã 0 et inversement partout où f est décroissante, alors f '( x ) Â 0.

Donc :

x −5 -3 2 3 6 f ’( x ) - 0 + 0 - 0 +

f ( x )

3 2 3,5

0 1

D'autre part en chaque tangente horizontale, le nombre dérivé est nul.

Ex. 23p 124 Ex. 23p 124 Ex. 23p 124 Ex. 23p 124

Même principe.

La courbe de f possède deux tangentes horizontales en x = - 1 et en x = 2 donc f '( x ) s'annule deux fois.

x −3 -1 2 4 g ’( x ) + 0 − 0 +

g ( x )

Ex. 27p 125 Ex. 27p 125 Ex. 27p 125 Ex. 27p 125

On procède comme dans les exercices 22 et 23 : on dresse les tableaux de variations des fonctions f (courbe 1), g (courbe 2) et h (courbe 3) et on en déduit le signes leurs dérivées f '( x ), g '( x ) et h '( x ).

On regarde alors quelle courbe parmi A , B et C correspond à chacune des dérivées en observant les signes des fonctions sur les courbes et alors :

• f (courbe 1) correspond à une dérivée f '( x ) donnée par la courbe C

• g (courbe 2) correspond à une dérivée g '( x ) donnée par la courbe A

• h (courbe 3) correspond à une dérivée h '( x ) donnée par la courbe B

Ex. 29p 125 Ex. 29p 125 Ex. 29p 125 Ex. 29p 125

a) f ( x ) = u

v ^{avec  }

 u ⁼ x ⁺ 1 u ' = 1 et



  v ⁼ 2 x ⁻ 6 v ' = 2 Donc f '( x ) = u ' v ⁻ uv '

v ^{2 =}

1(2 x ⁻ 6) − 2( x ⁺ 1)

(2 x ⁻ 6) ² = 2 x ⁻ 6 − 2 x ⁻ 2

(2 x ⁻ 6) ² = - 8 (2 x ⁻ 6) ² .

b) On en déduit que f '( x ) < 0 pout tout x différent de 3 car - 8 < 0 et (2 x ⁻ 6) ² > 0.

c) Ainsi :

x −o 3 +o f ’( x ) - 0 -

f ( x )

Ex. 37p 126 Ex. 37p 126 Ex. 37p 126 Ex. 37p 126

a) f '( x ) = 6 x ^{2 −} 6 x ⁻ 36 est un trinôme du second degré.

∆ = ( - 6) ² − 4 × 6 × ( - 36) = 900 > 0 donc il y a deux racines : x 1 = - ( - 6) − 900

2 × 6 = - 2 et x 2 = - ( - 6) + 900

2 × 6 = 3

De plus a = 6 > 0 donc les branches de la parabole du trinôme 6 x ^{2 −} 6 x ⁻ 36 son vers le haut et ainsi :

b)

x −o - 2 3 +o f ’( x ) + 0 − 0 +

f ( x )

45 - 80

f ( - 2) = 2 × ( - 2) ³ − 3 × ( - 2) ² − 36 × ( - 2) + 1 = 45 f (3) = 2 × 3 ³ − 3 × 3 ² − 36 × 3 + 1 = - 80

c) f admet un maximum local en x = - 2 et il vaut 45.

f admet un minimum local en x = 3 et il vaut - 80.

Ex. 38p 126 Ex. 38p 126 Ex. 38p 126 Ex. 38p 126

1)

Il semble que g admette :

• un minimum local en x = - 2 et que celui-ci vaut -0,5

• un maximum local en x = 2 et que celui-ci vaut 0,5

2) g = u

v ^{avec  }

 u ⁼ 2 x

u ' = 2 et    v ' = x ^{2 +} 4 v ' = 2 x

g '( x ) = u ' v ⁻ uv ' v ^{2 =}

2 ( ^{x 2 + 4} ) ^{− 2 x × 2 x} ( ^{x 2 + 4} ) ^{2 =}

- 2 x ^{2 +} 8

( ^{x 2 + 4} ) ²

• - 2 x ^{2 +} 8 est un trinôme du second degré de racines - 2 et 2 avec a = - 2 < 0

• ( x ^{2 +} 4) ² est un carré donc est toujours positif et ne s'annule pas car x ^{2 +} 4 ne s'annule pas (car sinon on aurait x ² = - 4 ce qui est impossible).

Donc :

x −o - 2 2 +o - 2 x ^{2 +} 8 - 0 + 0 -

( x ^{2 +} 4) ² + + + g ’( x ) - 0 + 0 -

g ( x )

0,5

- 0,5

g (2) = 2 × 2 2 ² + 4 = 4

8 = 1

2 = 0,5 et g ( - 2) = 2 × ( - 2) ( - 2) ² + 4 = - 4

8 = -1/2 = - 0,5

Ainsi on a prouvé que g admet :

• un minimum local en x = - 2 et que celui-ci vaut -0,5

• un maximum local en x = 2 et que celui-ci vaut 0,5

Ex. 39p 126 Ex. 39p 126 Ex. 39p 126 Ex. 39p 126

Il semble que f admette :

• un minimum local en x = 2 et que celui-ci vaut -21,5

• un maximum local en x = - 2 et que celui-ci vaut 21,5

f '( x ) = 4

3 × 3 x ^{2 −} 16 = 4 x ^{2 −} 16 est un trinôme du second degré.

∆ = 0 ² − 4 × 4 × ( - 16) = 256 > 0 donc il y a deux racines : x 1 = - 0 − 256

2 × 4 = - 2 et x 2 = - 0 + 256 2 × 4 = 2

De plus a = 4 > 0 donc les branches de la parabole du trinôme 4 x ^{2 −} 16 son vers le haut et : x ^- 3 - 2 2 3

f ’( x ) + 0 − 0 +

f ( x )

64

3 -12

12 - 64 3 f ( - 3) = 4

3 × ( - 3) ³ − 16 × ( - 3) = 4

3 × ( - 27) + 48 = - 36 + 48 = 12 f ( - 2) = 4

3 × ( - 2) ³ − 16 × ( - 2) = 4

3 × ( - 8) + 32 = - 32

3 + 32 = - 32 3 + 96

3 = 64 3 f (2) = 4

3 × 2 ³ − 16 × 2 = 4

3 × 8 − 32 = - 64

3 et f (3) = 4

3 × 3 ³ − 16 × 3 = - 12

On a donc bien prouvé que f admet :

• un minimum local en x = 2 et que celui-ci vaut - 64 3

• un maximum local en x = - 2 et que celui-ci vaut 64

3

Ex. 40p 126 Ex. 40p 126 Ex. 40p 126 Ex. 40p 126

f ( x ) = x ^{4 − 4}

3 x ^{3 −} 1 sur [ - 1 ; 2].

• Méthode 1

f '( x ) = 4 x ^{3 −} 4 x ² = 4 x ² ( x ⁻ 1)

4 x ² est toujours positif et s'annule en x = 0

x ⁻ 1 est une fonction affine croissante (coefficient directeur 1 > 0) qui s'annule en x = 1

Donc :

x ^- 1 0 1 2

4 x ² + 0 + 0 +

x ⁻ 1 - - 0 +

f ’( x ) - 0 - 0 +

f ( x ) 4 3 13

3 - 1

- 4 3

f ( - 1) = ( - 1) ⁴ − 4

3 × ( - 1) ³ − 1 = 1 − 4

3 − 1 = - 4 3 f (0) = 0 ⁴ − 4

3 × 0 ³ − 1 = - 1 f (1) = 1 ⁴ − 4

3 × 1 ³ − 1 = - 4 3 f (2) = 2 ⁴ − 4

3 × 2 ³ − 1 = 16 − 4

3 × 8 − 1 = 15—32

3 = 45

3 − 32 3 = 13

3

• Méthode 2

f '( x ) = 4 x ^{3 −} 4 x ² = 4 x ( x ^{2 −} x )

4 x est une fonction affine croissante (coefficient directeur 4 > 0) qui s'annule en x = 0

x ^{2 −} x est un trinôme du second degré de racines 0 et 1 avec a = 1 > 0 et dont la parabole a

donc les branches orientées vers le haut

Donc :

x ^- 1 0 1 2 4 x ^- 0 + +

x ^{2 −} x + 0 - 0 + f ’( x ) - 0 - 0 +

f ( x ) 4

3 13

3 - 1

- 4 3

f ( - 1) = ( - 1) ⁴ − 4

3 × ( - 1) ³ − 1 = 1 − 4

3 − 1 = - 4 3 f (0) = 0 ⁴ − 4

3 × 0 ³ − 1 = - 1 f (1) = 1 ⁴ − 4

3 × 1 ³ − 1 = - 4 3 f (2) = 2 ⁴ − 4

3 × 2 ³ − 1 = 16 − 4

3 × 8 − 1 = 15—32

3 = 45

3 − 32 3 = 13

3

Ainsi f admet un minimum local en x = 1 et celui-ci vaut - 4 3 .

Ex. 41p 126 Ex. 41p 126 Ex. 41p 126 Ex. 41p 126

f ( x ) = 4

x ⁺ x ⁺ 10 sur [ - 4 ; 0[.

f ( x ) = 4 × 1

x ⁺ x ⁺ 10 donc : f '( x ) = 4 ×

 



  - ¹ 

x ² + 1 = - 4

x ^{2 + 1 = -} 4 x ^{2 +}

x ² x ^{2 =}

x ^{2 −} 4 x ²

x ^{2 −} 4 est un trinôme du second degré de racines - 2 et 2 avec a = 1 > 0 et dont la parabole a donc les branches orientées vers le haut

x ² est un carré donc toujours positif, mais s'annule en x = 0

Donc :

x ^- 4 - 2 0

x ^{2 −} 4 + 0 -

x ² + + 0

f ’( x ) + 0 -

f ( x ) 6

5

f ( - 4) = 4

- 4 + ( - 4) + 10 = - 1 − 4 + 10 = 5 f ( - 2) = 4

- 2 + ( - 2) + 10 = - 2 − 2 + 10 = 6

Ainsi f admet un minimum local en x = - 2 et celui-ci vaut 6.