Electrocinétique
TD n
o2 : Amplificateur opérationnel
Ex. 1 TP : écarts à l’idéalité de l’AO
Lors de travaux pratiques, un expérimentateur souhaite mettre en œuvre le circuit suiveur. L’AO étant un composant actif, il n’oublie pas d’utiliser une alimentation +15 V/−15 V. Afin de tester son montage, il met en entrée un signal e(t) sinusoïdal d’amplitude 10 V pour vérifier qu’il obtient bien en sortie un signal sinusoïdals(t) =e(t).
1. Malheureusement, il observe en sortie un signal constinus(t) =−14,6 V dont la photographie de l’écran d’oscil- loscope est reproduite ci-dessous. Quelle erreur a-t-il probablement commise ?
2. Après avoir corrigé son erreur de câblage, il observe en sortie le signal de la photographie ci-dessous... quasiment triangulaire ! On précise que la fréquence dee(t) est de 1,2 MHz.
2.a. Le comportement du montage est-il linéaire ? Proposer une explication compte tenu de ce qui a été vu dans le cours.
2.b. Estimer la valeur du facteur limitant, sachant que la mesure crête-à-crête du signal est de 5 V. Est-ce en accord avec la valeur attendu ? Quelle fréquence maximale ne doit-il pas dépasser pour que le signal ne soit pas déformé ?
3. Après avoir abaissé la fréquence à 1 kHz, et résolu son problème, il utilise le suiveur pour alimenter une résistance Ru= 100 Ω placée entre la sortie et la masse, et là, à nouveau, le signal ne correspond pas à celui attendu :
3.a. Le comportement du montage est-il linéaire ? Est-ce dû à une saturation en tension ? Proposer une explication du problème.
3.b. Estimer la valeur de la saturation en cause. Est-ce en accord avec la valeur attendue ? Que peut-on proposer pour résoudre le problème si l’on veut garder un signal de 10 V d’amplitude en entrée ?
Ex. 2 Montages sommateur et soustracteur
Dans les deux montages, l’AO est supposé idéal.∞
−
+ R
R
R
Vs
V1
V2
Figure 1 –Sommateur
∞
−
+ R
R
R R
Vs V1
V2
Figure 2 –Soustracteur 1. Donner les hypothèses du modèle idéal de l’AO.
2. Pourquoi peut-on faire l’hypothèse d’un fonctionnement de l’AO en régime linéaire ?
3. Montrer que les deux montages réalisent respectivement l’addition et la différence des signaux d’entrée.
Ex. 3 Chaîne électronique de mesure du température (extrait Mines de
Sup 2007)
On construit une chaîne électronique avec trois amplificateurs opérationnels (figure ci-dessous). La tension v(θ) est fournie par un capteur de température qui ne peut délivrer de courant électrique. Cette tension est seulement fonction de la températureθet elle est donnée avec précision par :
v(θ) =v0−aθ
avecv0= 0,7 V eta= 2 mV·K−1. Les résistances ont pour valeurs :R1= 2 kΩ ;R2= 1 kΩ.
1. Les trois amplificateurs sont supposés idéaux et fonctionnent en régime linéaire. Rappeler les caractéristiques de tels amplificateurs.
2. Quelle relation y a-t-il entreu1 etv? Quel est le rôle de ce premier étage (AO1) ? 3. Exprimeru2en fonction deu1 et v0, puis en déduireu2 en fonction de la températureθ.
4. Exprimeru3en fonction deu2. En déduire la relation entreu3et la température θ.
Ex. 4 Montage pseudo-intégrateur
On étudie le montage de la figure 3, alimenté par un générateur de tension ue(t) = e0cos(ωt). L’A.O. est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire.
Figure 3
1. Justifier l’utilisation de la notation complexe pour l’étude de ce filtre.
2. Déterminer a priori la nature du filtre.
3. Calculer la fonction de transfertH(jω).
4. Tracer le diagramme de Bode, sachant que le gain basse fréquence est de 10.
5. Montrer que dans un domaine de fréquence que vous préciserez, le circuit se comporte comme un pseudo- intégrateur.
6. Montrer que l’hypothèse d’un fonctionnement linéaire de l’A.O. est raisonnable.
7. Discuter l’intérêt de ce montage par rapport au passe bas passif.
Ex. 5 Etude d’un filtre actif
On étudie le montage de la figure ci-dessous, alimenté par un générateur de tension Ue(t) =e0cos(ωt). L’A.O. est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire.
1. Quel est a priori la nature du filtre ? 2. DéterminerH(jω).
3. MettreH(jω) sous forme canonique en faisant apparaître le facteur de qualitéQ, la pulsationω0 etH0=Hmax. Dans quelle situation avez vous rencontré une fonction de transfert similaire ?
4. Déterminer la (ou les) pulsation(s) de coupure et la bande passante de ce filtre.
5. Les résistances R1, R2 et R3 sont réglables. Justifier que les caractéristiques du filtre peuvent être choisies indépendamment. On veut que la bande passante soit : [300 Hz,3400 Hz]. Déterminerω0et Q.
6. En prenant maintenant R1 = R, R2 = R et R3 = 2R, calculer Q, ω0 et H0. Tracer le diagramme de Bode correspondant.
Stabilité des montages à A.O.
Ex. 6 Stabilité d’un montage amplificateur
Dans le montage ci-dessous, l’A.O. est considéré en tout point idéal, sauf en ce qui concerne son gain différentiel que l’on suppose être une fonction de la fréquence du 1er ordre du type :
µ= µ0 1 +jωτ
1. Rappeler l’ordre de grandeur deµ0 etτ.
2. Elaborer le schéma bloc fonctionnel du montage et étudier la stabilité du montage.
3. Retrouver le résultat de la question précédente à l’aide d’une étude temporelle.
4. En supposant le montage stable et l’A.O. idéal, déterminer vvs
e ainsi que l’impédance d’entrée du circuit. Que devient le gain lorsquek tend vers la valeur limite de stabilité ?
Ex. 7 Toujours vérifier la stabilité avant de calculer une fonction de transfert
L’analyse fréquentielle inclut a priori une hypothèse de stabilité pour le fonctionnement des montages électroniques étudiés. Faute de cette justification, les diagrammes représentant l’amplitude et la phase de transferts perdent leur sens physique.
Le montage étudié ci-après donne l’exemple d’une fonction de tranfert dont la représentation de Bode peut être dessinée, mais dont il serait vain de vouloir exécuter un relevé expérimental.
1. Analyse fréquentielle : tracé du diagramme de Bode.
On s’intéresse au montage schématisé ci-dessus, incluant un amplificateur opérationnel considéré comme idéal.
Lorsqu’une tension sinusoïdaleve(t) de pulsation ωest appliquée à l’entrée, une tensionvs(t) apparaît en sortie.
Exprimer la fonction de transfert complexe H =vs/ve associée à ce montage, en supposant le fonctionnement linéaire. En préciser la valeur du gain et du déphasage, puis dessiner une représentation asymptotique pour le gain et le déphasage.
2. Prise en compte du comportement temporel de l’amplificateur opérationnel.
2.a. Recomposer à l’aide de la fonction de transfert obtenue l’équation différentielle qui régit vs(t) en fonction deve(t).
2.b. Résoudre cette équation différentielle dans le cas où, le condensateur étant initialement déchargé et la tension de sortievsnulle, un échelon de tension égal à 1×10−6V est appliqué enveau tempst= 0. Décrire l’évolution de la tension vs(t) au cours du temps. Justifier alors, dans ces conditions, l’impossibilité d’un relevé expérimental du tracé de Bode déterminé plus haut.
Ex. 8 Etude d’un filtre actif du 2e ordre : Filtre de Sallen and Key
On étudie le montage de la figure??, alimenté par un générateur de tensionue(t) =e0cos(ωt). L’A.O. est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire.1. Déterminer la nature du filtre a priori.
2. Déterminer la fonction de transfert H(jω). La mettre sous sa forme canonique en faisant apparaître ω0 et Q.
Dans quel circuit rencontre-t-on une fonction de transfert analogue ?
3. Revenir à l’équation différentielle. Mettre l’équation sous sa forme canonique. Identifier alorsω0 et Qet vérifier les relations que vous avez obtenues précédemment.
4. Tracer le diagramme de Bode correspondant et commenter le. (On prendraω0= 105s−1 etQ= 100).
5. La stabilité du régime linéaire dans ce montage est elle évidente ? Justifier que le régime linéaire est stable.
Blocs en cascade
Ex. 9 Influence de la « charge » sur le filtre, intérêt du montage suiveur
On éudie le montage de la figure 4. Le générateur délivre un signal ue(t) =e0cos(ωt). On s’intéresse à la tension de sortieus(t) =s0cos(ωt+ϕ).1. Déterminer sans calcul, a priori, la nature du filtre de la figure 4a.
2. DéterminerH1(jω) pour le filtre de la figure 4a à l’aide de la loi des nœuds en terme de potentiel et la mettre sous forme réduite.
3. Dans quelle domaine de valeur a-t-on un comportement intégrateur ?
4. On ajoute alors une résistance dite « résistance de charge » aux bornes de la capacité, figure 4b. En utilisant toujours la loi des nœuds en terme de potentiel, calculerH2(jω) pour ce nouveau filtre. Commenter par rapport aux résultats précédents.
5. On choisit alors de rajouter un amplificateur opérationnel et on étudie alors le montage de la figure 4c. Calculer H3(jω). Commenter par rapport aux résultats précédents.
6. Dans le dernier cas, dessinerus(t) siue(t) =e0cos(ωt) pour ωωc etωωc. 7. Dessinerus(t) siue(t) est un signal créneau de périodeT pourT 2πω
c etT 2πω
c.
Justifier l’utilisation de la même fonction de transfert alors que le régime n’est plus sinusoïdal. (La décomposition spectrale ou analyse de Fourrier du signal carré est donnée figure 4d.)
8. Dessinerus(t) siue(t) est un signal triangle de périodeT pourT 2πω
c etT 2πω
c.
(a) (b)
(c)
(d) Figure 4
