Ex.2Décompositionducontactthermique Ex.1Paroimobile TDn 4:Thermodynamiqueetchangementsd’états Thermodynamiqueetmécaniquedesfluidesappliquéesauxmachinesthermiques

Thermodynamique et mécanique des fluides appliquées aux machines

thermiques

TD n

4 : Thermodynamique et changements d’états

Ex. 1 Paroi mobile

Un récipient à parois rigides et calorifugées contient deux gaz parfaits diatomiques séparés par une paroi mobile sans frottement et calorifugée. Initialement, les gaz sont dans le même état caractérisé par les paramètres P₁ = 10⁵ Pa, V₁ = 1 L et T₁ = 300 K. Un générateur fournit de l’énergie au gaz A par l’intermédiaire d’une résistance R₀ = 10 Ω, de capacité thermique négligeable, parcourue par un courant continu I = 1 A, pendant une duréeτ au bout de laquelle le volume du gazA atteint la valeur V_A= 1,1 L. L’évolution est supposée quasi-statique.

Données : R= 8,31 J·mol⁻¹·K⁻¹et γ = 1,4

1. Calculer la pression finale P₂ dans les deux compartiments.

2. Calculer la température finale T_B du gaz dans le compartiment B.

3. Calculer la température finale TA du gaz dans le compartiment A.

4. Calculer le transfert thermique Q_A reçu par le gaz en A. En déduire τ.

5. Calculer le travail W_B reçu par le gaz en B.

Ex. 2 Décomposition du contact thermique

Un solide de capacité thermiqueC, initialement à la température T₀, est amené à la températureT_F en étant placé successivement au contact de N thermostats dont les températures T_i s’échelonnent régulièrement de T₀ à T_N. On attend que l’équilibre thermique avec chaque thermostat soit réalisé avant de passer au thermostat suivant. On donne C = 400 J·K⁻¹, T₀ = 300 K et T_F = 350 K.

1. En notant T_i la température de i-ème thermostat (i varie de 1 à N), exprimer l’écart de tem- pérature T_i −T_i−1 entre deux thermostats successifs en fonction de T₀, T_F etN.

2. ExprimerS_e,ientropie reçue par la solide lors de lai-ème étape où, au contact avec le thermostat de températureT_i, il passe de la températureTi−1 à la températureT_i. En déduireS_c,i, l’entropie créée lors de cette i-ème étape.

3. Exprimer S_c pour la transformation totale en fonction de C, T₀, T_F et N.

Le calcul de S_c pour N = 1, N = 2, N = 10, N = 100 donne les résultats suivants : Nombre N de thermostats S_c (J·K⁻¹)

1 4,52

2 2,32

10 0,47

100 0,048

Commenter.

4. On cherche à déterminer si on peut rendre la transformation réversible en passant à la limite N → ∞. Dans le cas où N est grand, on pose θ= ^TF_N^−T0.

4.a. ExprimerS_c,i en fonction de C et ε= _T^θ

i−1.

4.b. Si|ε|1, on rappelle que ln(1 +ε)'ε− ^ε₂² et (1 +ε)^α '1 +αε+^α(α−1)₂ ε². Que devient S_c,i quand N 1 ? On donnera le résultat en fonction de C, T₀, T_N et N.

4.c. Montrer que S_c,i ≤ _2N^C2

(TF−T0)²

T₀² . En déduire un majorant de S_c pour la transformation totale.

4.d. Que peut-on dire à la limiteN → ∞?

Ex. 3 Décomposition d’une détente dans le vide

1. On considère un récipient ayant des parois rigides et calorifugées, composé de deux comparti- ments de volume identique V, séparés par une cloison. On introduit n moles de gaz parfait à la température T dans l’un des compartiments, le vide régnant dans l’autre compartiment.

On enlève la cloison de séparation.

1.a. Comment d’appelle la détente que subit le gaz ?

1.b. Quelle grandeur thermodynamique reste conservée, quelle que soit la nature du gaz ? Dans le cas où le gaz est parfait, quelle variable d’état ne change pas lors de cette détente ? 1.c. En choisissant un couple de variables approprié, déterminer la variation de l’entropie du

gaz lors de cette détente. Peut-on tirer une conclusion quant au caractère réversible ou non de la transformation ?

2. Le compartiment de droite est maintenant divisé en N compartiments par autant de cloisons calorifugées amovibles. On remplace donc la détente initiale par une succession de N détentes élementaires si N est grand.

2.a. Calculer la variation d’entropie ∆S_k du gaz lorsque la k-ième cloison est retirée, en fonc- tion de n, R, V, V_k−1 et N. En déduire l’expression de l’entropie créée S_ck lors de cette transformation.

2.b. Exrpimer alors la variation d’entropie lors de la transformation totale, lorsque toutes les cloisons ont été retirées.

2.c. Peut-on rendre la transformation réversible en passant à la limite N → ∞? On pourra exprimer S_ck en fonction de l’accroissement v = V_k − V_k−1 = V /N du volume lors de chaque détente élémentaire, et mener une discussion similaire à celle de la fin de l’exercice précédent. On rappelle que ln(1 +ε)'ε si|ε|1.

Ex. 4 Variation infinitésimale de température dans un ré-

frigérateur

Pour étudier les échanges de chaleur entre le milieu extérieur et l’intérieur d’un réfrigérateur, on débranche le moteur. La température intérieure étant initialementT₂ = 268 K. Au bout de 6 heures, la température intérieure estT⁰ = 273 K. On admet que pendant un intervalle de temps infinitésimal dt compris entret ett+ dt, la quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur est donnée par : δQ =−aC(T(t)−T₁)dt (1) oùT₁désigne la température extérieure constante de 298 K,T(t) la température dans le réfrigérateur à l’instant t, C la capacité calorifique du réfrigérateur eta une constante.

1. Commenter le signe de δQ.

2. Etablir l’équation différentielle vérifiée par la température T(t).

3. En déduire T(t).

4. Donner la dimension de la constante a. Calculer sa valeur.

5. On définit le coefficient d’efficacitéedu réfrigérateur comme le rapport de la quantité de chaleur enlevée au réfrigérateur au travail dépensé. Calculer, en fonction dea,C,e,T₁ etT₂ la puissance minimale à fournir pour maintenir la température constante T₂ = 268 K dans le frigo. A.N. pour e = 3 etC = 2×10⁵J·K⁻¹.

Ex. 5 Entropie d’une phase condensée

1. Exprimer la variation d’entropie massique ∆s pour l’évolution d’une phase condensée de la température T1 à la température T2 en fonction de T1, T2 et c la capacité thermique massique supposée indépendante de T.

2. La table thermodynamique ci-dessous donne les valeurs de l’entropie massique de l’eau liquide à différentes températures sous la pression atmosphérique. Vérifier l’accord entre la table et le modèle développé ci-dessus en calculant la variation d’entropie massique lorsque de l’eau à 300 K atteint successivement les températures 320 K, 340 K et 350 K. On donne c= 4,18 J·K⁻¹ ·g⁻¹.

températude (K) entropie massique de l’eau liquide (J·g⁻¹·K⁻¹)

300 0,395

320 0,664

340 0,918

350 1,039

Ex. 6 Transformation polytropique

On s’intéresse à l’évolution d’un gaz parfait subissant une transformation polytropique. De telles transformations sont intermédiaires entre des adiabatiques et des isothermes, et se rencontrent en thermodynamique industrielle, par exemple lorsque le système réfrigérant ne permet pas d’éliminer tout le transfert thermique produit par une réaction chimique. Une telle transformation peut être modélisée par la relation

ds=cdT T

où s est l’entropie massique, T la température thermodynamique, et c est une constante appelée la capacité thermique massique vraie de l’évolution. On note par ailleurs c_P et c_V les capacités thermiques massiques à pression et volume constant du gaz ainsi quer =R/M la constante massique du gaz.

1. Montrer que l’évolution polytropique d’un gaz parfait vérifie (v étant le volume massique) (c−c_V)dT

T −rdv v = 0

2. En déduire par intégration qu’au cours d’une évolution polytropique P v^k = cte où k est une constante qui s’exprime en fonction de c_P, c_V, et c.

3. Réécrire la relation obtenue question 1 en fonction de k. En déduire que le travail massique reçu au cours de l’évolution vaut

δw= r k−1dT 4. En déduire le transfert thermique reçu par le gaz.

5. Quelle valeur faut-il donner à k pour que l’évolution polytropique devienne une isobare ? une isochore ? une adiabatique ? une isotherme ?

Ex. 7 Chauffage isobare d’un gaz parfait

On considère une enceinte calorifugée, fermée par un piston libre de coulisser sans frottements, contenant un gaz parfait. La pression extérieure est notée P₀. Initialement, le volume de l’enceinte estV0, la température et la pression du gazT0etP0. Cette enceinte renferme une résistance, alimentée par un générateur de courant idéal délivrant l’intensité I. La résistance varie avec la température selon la loi R(T) = R₀T /T₀.

1. Déterminer l’évolution de la température du gaz au cours du temps.

2. En déduire l’expression de l’évolution du volume au cours du temps.

Changements d’état

Ex. 8 Vaporisation irréversible de l’eau dans le vide

Dans une enceinte initialement vide de volume constant V₀ = 400 L thermostatée à la température T = 373 K, on place une ampoule scellée entièrement remplie sous la pression P₀ = 1,013×10⁵Pa d’une masse m= 100 g d’eau à l’état liquide. Par un dispositif interne, on casse l’ampoule : déter- miner :

1. la pression finale ;

2. la variation d’entropie de l’univers au cours de la transformation.

Données :

— chaleur latente massique de vaporisation de l’eau à 373 K : lv = 2257 kJ·kg⁻¹

— pression de vapeur saturante de l’eau àT = 373 K ; P_s= 1,013×10⁵Pa

— masse molaire de l’eauM = 18,7×10⁻³kg·mol⁻¹ (la vapeur sèche sera considérée comme un gaz parfait)

— capacité thermique massique de l’eau liquide : c= 4,8 J·kg⁻¹·K⁻¹

Ex. 9 Mélange glace - eau

Dans une enceinte parfaitement calorifugée, on mélange une massem₁ d’eau liquide à la température T_I1 = 280 K avec une massem₂ de glace à la températureT_I2 = 260 K. Sous ces deux états, le corps pur est assimilée à une phase condensée idéale. On donne les capacités calorifiques massiques de la glace et de l’eau, et on les suppose constantes : c_g = 2,10 J K⁻¹g⁻¹ etc_e= 4,18 J K⁻¹g⁻¹.

Le système évolue sous une pression extérieureP₀ constante, pour laquelle la température d’équilibre vaut T₃ = 273 K et l’enthalpie massique de fusion ∆f ush = 333 J g⁻¹. On néglige les échanges de chaleur entre le système et le pressostat.

1. Prévoir qualitativement l’état final du système à l’issue de son évolution. Montrer en particulier que trois cas peuvent être distingués selon les proportions relatives de glace et d’eau.

2. Effectuer un bilan énergétique du système au cours de l’évolution. En déduire l’expression de sa température finale T_F lorsqu’il est à l’état solide. Etablir la condition portant sur m₁ etm₂ qui valide cette hypothèse.

3. Reprendre la démarche précédente pour un état final entièrement liquide.

Ex. 10 Le phénomène d’évaporation

L’évaporation et l’ébullition sont deux phnomènes différents. L’ébullition est un phénomène concer- nant toute la masse du liquide, qui se produit à une température T donnée lorsque la pression ambiante à laquelle est soumis le liquide est égale à la pression de vapeur saturante Psat(T). A

l’inverse, l’évaporation d’un liquide se produit à toute température. C’est un phénomène lent, qui se produit au niveau de la surface de séparation des phases liquide et vapeur. La vitessev d’évaporation est donnée par la loi suivante :

v = dm

dt =kS(P_sat(T)−P_vap(T)) (2)

où k est une constante positive, S la surface libre du liquide et P_vap(T) la pression partielle de la vapeur au-dessus du liquide.

1. Quand l’évaporation s’arrête-t-elle, s’il reste encore du liquide ?

2. Trouver des exemples de la vie courante, où l’évaporation joue un rôle important, et discuter du rôle des divers facteurs de la formule précédente.

Ex. 11 Combien de glaçons ?

Par une chaude journée d’été, vous avez oublié de mettre au réfrigérateur la bouteille d’eau gazeuse.

Combien de glaçons devez-vous ajouter à votre verre pour qu’il soit aussi rafraîchissant ? Données :

— enthalpie massique de fusion de l’eau : 3,3×10²kJ·kg⁻¹;

— capacité thermique massique de l’eau liquide : 4,2 kJ·K⁻¹·kg⁻¹;

— capacité thermique massique de l’eau solide : 2,1 kJ·K⁻¹·kg⁻¹.