PanaMaths Janvier 2014
Déterminer :
sin 0
lim
x1
x
e
→
x
−
Analyse
Une analyse de la limite proposée (limite du numérateur d’une part, du dénominateur, d’autre part) nous conduit à une certain type d’indétermination qui DOIT faire penser au calcul d’un nombre dérivé. A partir de là, on peut adopter deux approches …
Résolution
On a, en tenant compte de la continuité en 0 du sinus et de l’exponentielle :
composition
0 sin
0 0
0
lim sin sin 0 0
lim 1
lim 1
x x
X x
X
x e e e
→
→
→
= = = ⎫⎪= ⎪⎭⎬ ⇒ =
D’où : limx→0
(
esinx− =1)
0.On a donc affaire à une forme indéterminée du type « 0
0 » et nous devons penser au calcul d’un nombre dérivé.
A partir de là, on peut penser à la limite classique (nombre dérivé de l’exponentielle en 0) :
( ) ( )
0
lim 1 exp' 0 exp 0 1
x
x
e
→ x
− = = =
Nous pouvons nous ramener à cette limite comme suit :
sin sin
1 1 sin
sin
x x
e e x
x x x
− = − ×
On a :
0 composition sin
0 0
lim sin sin 0 0
lim 1 1
1 sin
lim 1
x x
X
x X
x
e
e x
X
→
→
→
= = ⎫
⎪ ⇒ − =
− = ⎪⎬
⎭
PanaMaths Janvier 2014
Par ailleurs, on a la limite classique :
0
limsin 1
x
x
→ x = . On en déduit (par produit) :
sin sin
0 0
1 1 sin
lim lim 1 1 1
sin
x x
x x
e e x
x x x
→ →
⎛ ⎞
− = ⎜ − × ⎟= × =
⎝ ⎠ .
Pour x=0, on a : esinx =e0=1. La limite
sin 0
lim 1
x
x
e
→ x
− serait donc, si elle est finie, le nombre dérivé de la fonction :x esinx
ϕ 6 pour x=0.
Les fonctions sinus et exponentielle étant dérivable sur \, il en va de même pour la fonction ϕ et pour tout x réel, on a : ϕ'
( )
x =sin'( )
x ×esinx =cos( ) ( )
x ×ϕ x .Il vient alors : sin
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1 0
lim lim ' 0 cos 0 0 1 1 1
0
x
x x
e x
x x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
→ →
− = − = = × = × =
− .
On retrouve le résultat obtenu précédemment.
Résultat final
sin 0
lim 1 1
x
x
e
→ x
− =
