I.Plongéesous-marine THERMODYNAMIQUE

PCSI 1 - Stanislas Devoir Surveillé N ^◦ 8 - 11/04/15 - durée 2H A. MARTIN

THERMODYNAMIQUE

CALCULATRICES AUTORISÉES

On veillera le plus possible à exprimer les résultats littéraux en fonction des données du problème, de façon notamment à limiter les erreurs d’arrondi.

I. Plongée sous-marine Les différentes parties sont indépendantes.

I.1. Plongée en apnée

L’eau où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène et incompressible, de masse volu- mique ρ = 1, 0 × 10 ³ kg.m ⁻³ , en équilibre dans le champ de pesanteur − → g uniforme avec g = 9, 81 m.s ⁻² . La surface libre de l’eau (cote z=0) est en contact avec l’atmosphère, de pression constante p atm = 1, 013 × 10 ⁵ Pa. On prendra l’axe Oz vertical ascendant.

1. Rappeler l’équation locale d’équilibre des fluides et en déduire l’expression de la pression p(z) dans l’eau en un point de cote z ≤ 0. Tracer le graphe de p(z) (pour z > 0 et z < 0), en vous limitant à une altitude faible devant la hauteur d’échelle pour z > 0.

On assimile l’air contenu dans les poumons du plongeur à un gaz parfait et on note la constante des gaz parfaits R = 8, 31 J.K ⁻¹ mol ⁻¹ . Cet air est caractérisé par une pression p(z) identique à celle de l’eau à la cote z, un volume V (z) (capacité pulmonaire) variable car la cage thoracique se déforme sous l’effet de la pression, et enfin une température T constante et indépendante de la profondeur.

2. Calculer la capacité pulmonaire du plongeur à une cote z sachant que celui-ci, avant de plonger, gonfle ses poumons à leur capacité maximales V _M = 4, 0 L puis bloque sa respiration. Quelle est la valeur de V (z) à z = −20 m ?

3. On définit le poids apparent du plongeur −−→

P _app comme la résultante des forces s’exerçant sur le plongeur (on néglige tout frottement). On définit la flottabilité F par −−→

P _app = +F − → u _z . Expliquer qualitativement comment varie la flottabilité lorsque la profondeur augmente.

Afin de faciliter leur descente lors des premiers mètre, les plongeurs utilisent souvent un lest, plaque de plomb de volume négligeable, accroché à une ceinture et facilement largable. Ce lest ne doit pas être trop lourd car un surlestage peut inciter à descendre à une profondeur excessive. On note m la masse du plongeur, V ^∗ (z) le volume de son corps et V 0 le volume de son corps hors celui de la cage thoracique, de sorte que V ^∗ (z) = V 0 + V (z).

4. Quelle masse m 1 de lest choisir si l’on adopte comme règle de sécurité que le plongeur doit avoir une flottabilité nulle à 5 mètres de profondeur ? A.N. : V ₀ = 0, 079 m ³ et m = 80 kg.

I.2. Plongée avec bouteille : utilité du détendeur

La pression dans une bouteille de plongée peut varier de 100 à 200 bars en début de plongée jusqu’à 3 à 5 bars en fin de plongée : la réserve de sécurité est caractérisée par la pression de seuil p _s . Le gaz contenu dans les bouteilles de plongée sera considéré comme un gaz parfait.

Il faut ramener la pression de l’air sortant de la bouteille à la pression ambiante, pression de l’air respiré par le plongeur. Le détendeur assure cette fonction. Ce dispositif, inséré entre la bouteille d’air et la bouche du plongeur, fournit de l’air à la demande de ce dernier. Le détendeur possède ainsi plusieurs fonctions :

— il réduit la pression de l’air issu de la bouteille à la pression p(z) de l’endroit où se trouve le plongeur ;

— il fournit la quantité d’air nécessaire à la respiration du plongeur à la pression p(z) ;

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— il se bloque lorsque la pression p _b de l’air dans la bouteille devient de l’ordre de la pression seuil p _s . Le plongeur est alors averti qu’il doit passer sur la réserve et remonter.

5. Au début de la plongée, la bouteille, de volume V _b , est remplie d’air à la température T _b égale à la température T a de l’atmosphère, sous une pression p. En profondeur ou en surface, la bouteille et son contenu prennent instantanément la température T e , constante, de l’eau environnante.

Calculer la quantité de matière d’air contenu dans la bouteille, d’une part au début de la plongée (n i ), d’autre part au moment où le détendeur se bloque (n s ).

A.N. : p = 200bar, p s = 4bar, V _b = 12L, T a = 293K et T e = 288K.

6. La respiration du plongeur est périodique, de fréquence f . Sous la pression locale p(z) et à la température T e , le volume moyen de l’air inspiré au cours de chaque cycle (avant d’être ensuite rejeté à l’extérieur) est Ω ₀ .

Calculer le temps ∆t _s (z) au bout duquel le détendeur se bloque ; pour simplifier les calculs on admettra que le temps de descente du plongeur à la profondeur z est négligeable , que ce dernier se maintient tout le temps ∆t s (z) à la profondeur z et que le volume Ω ₀ ne dépend pas de la profondeur.

A.N. : z = −20m, Ω ₀ = 2L, f = 0, 2s ⁻¹ .

7. Comparer ∆t s (z) au temps ∆t s (0) mis par le détendeur pour se bloquer si le plongeur reste en surface, où z = 0 et T = T _a . Faire l’application numérique et comparer au cas où z = −20m.

I.3. Plongée avec bouteilles : hyperoxie et ivresse des profondeurs

Définition : Soit un mélange de plusieurs gaz parfaits (n ₁ moles de gaz (1), n ₂ moles de gaz (2), ...) occupant un volume V à une température T . On appelle pression partielle d’un des gaz constituant ce mélange la pression de ce gaz s’il occupait seul le même volume V à la température T.

L’air contenu dans les bouteilles de plongée est un mélange de gaz, dont la composition (molaire) est x _O

= 20% et x _N

= 80%.

8. Exprimer p ₁ puis p ₂ en fonction de p et des fractions molaires du gaz (i) : x _i = _n ⁿ

1

+n

.

9. a) Le dioxygène inhalé devient toxique si sa pression partielle augmente trop (hyperoxie), à cause des radicaux libres pouvant altérer nos cellules. Il existe même un risque d’œdème pulmonaire quand la pression partielle atteint 1, 5 bar. En déduire la profondeur maximale pouvant être atteinte sans danger par le plongeur.

b) Lorsque la pression partielle de l’azote atteint 4, 0 bar, la plongeur est victime de «l’ivresse des profondeurs», ou narcose à l’azote, entraînant des troubles du comportement tels qu’euphorie, angoisse, troubles de la vision, disparition de la notion de durée, amnésie, etc.... En déduire la nouvelle profondeur maximale.

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II. Fuites thermiques par les vitres d’une habitation

On considère une pièce d’habitation de capacité thermique totale C, de température T (t) à l’instant t, supposée uniforme en tout point de la pièce. La température de l’extérieur est constante de valeur T _ext = 273 K. Initialement, la pièce est à la température T (0) = 283 K. On met alors en route le chauffage par un radiateur électrique de résistance r, alimenté par le secteur délivrant une tension efficace U = 235 V. La puissance dissipée par effet Joule dans ce radiateur est

P _J = U ² r

Cependant, il y a des fuites thermiques qui se font par l’intermédiaire d’une fenêtre simple vitrée, de surface Σ. La puissance P _th des fuites thermiques est proportionnelle à la surface Σ de la vitre et à l’écart de température entre la pièce et l’extérieur (loi de Newton). On appelle k le coefficient de proportionnalité, positif. En valeur absolue, la loi de Newton s’exprime donc par la relation :

P _th (t) = k |T (t) − T ext | Σ

1. Exprimer la température T _p atteinte en régime permanent. Quelle valeur faut-il donner à r pour que la température de la pièce soit de T p = 293 K ? Faire l’application numérique avec Σ = 1, 00 m ² et k = 5, 60 uSI.

2. Écrire le bilan énergétique de la pièce entre deux instants infiniment voisins t et t +dt et en déduire l’équation différentielle vérifiée par T (t).

Identifier une constante de temps τ et calculer sa valeur numérique pour C = 100 kJ.K ⁻¹ . 3. Déterminer l’expression de T (t).

4. Citer un ou plusieurs moyen(s) de réduire les pertes thermiques. Lequel ?

III. Transformation cyclique d’un gaz parfait

Une quantité n = 1, 0 mol de gaz parfait dont le rapport des capacités thermiques vaut γ = 1, 4 subit le cycle de transformations quasi-statiques sur le plan mécanique suivant :

— A → B : détente isotherme ;

— B → C : compression adiabatique ;

— C → A : retour à l’état initial par une transformation isobare ;

On donne la constante des gaz parfaits R = 8, 31 J.K ⁻¹ .mol ⁻¹ , la température du gaz dans l’état A : T _A = 298 K, son volume en A : V _A = 12, 5 L, et son volume en B : V _B = 50, 0 L.

1. Montrer que les capacités thermiques à pression constante (C p ) et à volume constant (C V ) peuvent se déduire du rapport de capacités γ, et de nR.

2. Représenter le cycle de transformations subi par le gaz dans le diagramme de Watt (pression p en fonction du volume V ). On précisera les équations des courbes sur chaque transformation pour justifier l’allure du cycle.

3. Calculer les valeurs prises par les variables d’état pression, volume et température dans les trois états A, B et C, non données dans l’énoncé.

4. Calculer le travail reçu par le gaz au cours de chaque étape du cycle.

5. Comment s’écrit le premier principe pour le cycle entier ?

6. Calculer le transfert thermique reçu par le gaz au cours de chaque étape du cycle.

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IV. Pression sur un culot de bouteille

On modélise un culot de bouteille de la façon suivante : le fond de la bouteille est un disque plat (horizontal) sur la périphérie, et de forme cônique au milieu. Le cône central est de rayon R et de hauteur h. Il est soumis à la pression de l’air ambiant par dessous, et à celle du liquide de masse volumique ρ contenu dans la bouteille par dessus. La bouteille est remplie jusqu’à la hauteur H > h. On note g l’intensité du champ de pesanteur, et p ₀ la pression de l’air ambiant.

Faire un schéma d’un plan de coupe médiateur (i.e. passant par l’axe de symétrie).

Calculer la résultante des forces de pression sur la partie cônique. On utilisera les coordonnées cylin- driques.

Application numérique : g = 9, 81 m.s ⁻² , ρ = 1, 0 × 10 ³ kg.m ⁻³ , p ₀ = 1 bar, R = 2, 5 cm, h = 5 cm et H = 20 cm.

* * * Fin de l’épreuve * * *

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