Diagonalisation – DM2 PeiP (2020)

M. Lavigne DM2 2019-2020

Exercice 1. [⋆] Trouver un suppl´ementaire de F dans E dans chacun des cas suivants.

1. E= M2(K) et F l’ensemble des matrices de la forme : ( a b

−b 0);

2. E=K3[X] et F l’ensemble des polynˆomes P ∈E tels que : P(0) =P(1) =0.

Exercice 2. [⋆⋆] Soitn∈Netn≥1. On consid`ere le vecteurA= (a₁, . . . , a_n) avec a_i∈R^∗ pour tout 1≤i≤n. On d´efinit l’ensemble :

H= {X∈Rⁿ,X⋅A=0},

o`u X⋅A correspond au produit scalaire canonique de Rⁿ. On appelle H l’orthogonal de A (il est not´e dans la litt´erature A^⊥).

1. V´erifier que X= (x₁, . . . , x_n) ∈H si et seulement si : a1x1+ ⋯ +anxn=0.

2. Pour tout 2 ≤ i≤ n, on note e_i = a_iε₁−a₁ε_i, avec (ε₁, . . . , ε_n) la base canonique deRⁿ. Montrer que la familleB = (e2, . . . , en)est une base de H. En d´eduite que dimH=n−1. On dit alors queH est un hyperplan de Rⁿ.

3. Montrer que H est un suppl´ementaire de F =Vect(A).

4. Application. En d´eduire un suppl´ementaire dans R³ de l’ensemble P d´efini par l’´equation :

x₁−x₂+2x₃=0.

2019-2020 M. Lavigne

Exercice 3. [⋆⋆] On note T riang_n⁺(R) l’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures `a coefficients r´eels.

1. Montrer que T riang⁺_n(R) est un R-espace vectoriel. Donner sa dimen- sion et une base.

2. Trouver un suppl´ementaire S deT riang_n⁺(R). 3. Montrer que pourA∈ Mⁿ(R) et pour 1≤i≤j≤n,

E_iiAE_jj=a_ijE_ij.

4. Montrer que l’application suivante est lin´eaire : π ∶ Mn(R) → Mn(R)

A ↦ ∑ⁿi=1∑ⁿj=iEiiAEjj

Quel est son noyau ? Quelle est son image ? 5. Interpr´eter g´eom´etriquement π.